Transformadas de laplace

1. INTRODUCCIÓN
Entre las transformaciones más usuales que operan con funciones f(
x
) cumpliendo condiciones
adecuadas en I=[a,b], para obtener otras funciones en I, están por ejemplo
:
•
Laoperación D de derivación :
[
]
∆
(
)
(
)
f
x
f
x
=
′
•
La operación I de integración :
[
]
∫
=
x
a
t
d
)
t
(
f
)
x
(
f
I
•
La transformación M
g
definida por :
[]
M
(
)
(
)
(
)
g
f
x
g
x
f
x
=
⋅
siendo g(
x
) una función concreta.
En cada caso, hay
que asignar alguna restricción a las funciones f(
x
) a las que se aplica unatransformación dada. Así, en el primer ejemplo, f(
x
) debe ser derivable en un cierto intervalo,
etc.
Las tres transformaciones citadas son
lineales
, es decir, que verifican :
[
]
[
]
[
]
ℜ
∈∀
+
=
+
2
1
2
2
1
1
2
2
1
1
c
,
c
)
x
(
f
T
c
)
x
(
f
T
c
)
x
(
f
c
)
x
(
f
c
T
Una clase importante dentro de las transformaciones lineales, son las llamadastransformaciones integrales
. Se consideran las funciones f(
x
) definidas en un intervalo finito
o infinito a
≤
x
≤
b y se escoge una función fija K(
s,x
) d
e la variable
x
y el parámetros
.
Entonces la correspondiente transformada integral está dada por :
[
]
)
s
F(
x
d
)
x
(
f
)
x
,
s
K(
)
x
(
f
T
b
a
=
=
∫
La función K(
s,x
) se llama
núcleo de latransformación T
.
Se muestra fácilmente que
T es
lineal, cualquiera que sea la K(s,x).
2
En
la matemática aplicada se estudian varios casos especiales de transformadas integrales,
adaptadas ala resolución de diversos problemas : transformada de Fourier, transformada de
Fourier de seno, ídem de coseno, transformada de Hankel, de Mellin, etc.
Se
trata de estudiar ahora latransformación de Laplace
especialmente indicada para
simplificar el proceso de resolver problemas de valor inicial, cuyas ecuaciones diferenciales
sean lineales, y primordialmente cuando se incluyen...