Transformadas lineales

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VALORES Y VECTORES CARACTERISTICOS
Un vector es un segmento con longitud, dirección y sentido definidos, y es por lo regular utilizado, en matemáticas y física, teniendo diferentes usos y significados, según el área donde se utiliza, ya que no solo es utilizado en esas dos, yo, como estudiante, los vectores y las matrices son el pan de cada día, mas es frecuente que realice uno de estasoperaciones durante mi carrera. De tal manera tengo que aplicar estos conocimientos básicos de valores y vectores característicos
Un valor característico es un valor escalar, y un vector característico, está ligado sumamente a estos valores, ya que si no cumplen con la formula Av.= λv, no puede ser llamado vector característico, es como decir que no hay Batman, sin robín,… un consejo, siempre utilizaranalogías con la vida cotidiana, para que el entendimiento de temas difíciles como este, se haga más agradable y lo recordemos mas.

6.1.-DEFINICIÓN DE VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS DE UNA MATRIZ CUADRADA
En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a unmúltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar recibe el nombre valor propio, autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectores propios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.
Las transformaciones lineales delespacio—como la rotación, la reflexión, el ensanchamiento, o cualquier combinación de las anteriores; en esta lista podrían incluirse otras transformaciones—pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores. Los vectores pueden visualizarse como flechas de una cierta longitud apuntando en una dirección y sentido determinados.
 Los vectores propios de las transformaciones linealesson vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar que no varía su dirección.
 El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.
 Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vector nulo, que no es un vector propio.
 La multiplicidadgeométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado.
 El espectro de una transformación en espacios vectoriales finitos es el conjunto de todos sus valores propios.
Por ejemplo, un vector propio de una rotación en tres dimensiones es un vector situado en el eje de rotación sobre el cual se realiza la rotación. El valor propio correspondiente es 1 y el espacio propio contiene atodos los vectores paralelos al eje. Como es un espacio de una dimensión, su multiplicidad geométrica es uno. Es el único valor propio del espectro (de esta rotación) que es un número real.
Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios de la siguiente manera: Si A: V ! V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial V, v es un vector diferente de cero en V y c es un escalar(posiblemente cero) tales que

Entonces decimos que v es un vector propio del operador A, y su valor propio asociado es c. Observe que si v es un vector propio con el valor propio c entonces cualquier múltiplo diferente de cero de v es también un vector propio con el valor propio c. De hecho, todos los vectores propios con el valor propio asociado c junto con 0, forman un subespacio de V, elespacio propio para el valor propio c.

Ecuación del valor propio o autovalo
Matemáticamente, v es un vector propio y el valor propio correspondiente de una transformación T si verifica la ecuación:

donde T(v) es el vector obtenido al aplicar la transformación T a v.
Supóngase que T es una transformación lineal (lo que significa que
para todos los escalares a, b, y los vectores v, w)....
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