Transformadas

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Resolución de Circuitos mediante Transformada de Laplace

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Capítulo 4 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 4.1  OBJETIVO Presentar  uno  de  los  métodos  más  efectivos  para  resolver  sistemas  deecuaciones integro-diferenciales simultáneas de coeficientes constantes que describen completamente el comportamiento de circuitos lineales e invariantes con el tiempo. El método posee las siguientes ventajas: Reduce el problema a la solución de ecuaciones algebraicas lineales. Se aplica tanto a circuitos propios como impropios. Introduce el estado energético inicial en t = 0- desde el principio y,por tanto: No require la determinación del estado energético inicial en t = 0+ para circuitos impropios. No es necesario evaluar el valor de la respuesta y de sus derivadas temporales de orden superior en t = 0+ ni  con- stantes arbitrarias. Permite encontrar en una sola operación la solución total (es decir, la particular y la función complementaria). 4.2 DEFINICION La transformación de Laplaceasocia a una función real del tiempo f(t) definida en el intervalo  [0, ∞] otra función F(s) de acuerdo a la ecuación (4-1) donde la variable s en (4-1) se denomina la frecuencia compleja. (4-1) es válida únicamente para valores de s (puntos del plano complejo) para los que la integral sea finita, cuyo lugar geométrico se conoce con el nombre de REGION DE CONVERGENCIA. Reemplazando (4-1b) en (4-1a)se obtiene:                                                                                                            (4-2) La integral (4-2) puede considerarse como el límite de una suma de números complejos (vectores con diferentes orientaciones). La magnitud de la resultante es menor o igual a la suma de las magnitudes de cada uno de los vectores componentes de la suma ya que esto esequivalente a sumar vectores con la misma  orientación  y  sobre  el  mismo  eje.  Se  puede  expresar  este  hecho matemáticamente de la siguiente manera: (4-3) donde  en  la  segunda  integral  *e-jwt* = 1.0 garantiza que la suma se está efectuando sobre el mismo eje y *f(t)* que todos los vectores tienen el mismo sentido. Es evidente entonces que para que *F(s)* sea finito f(t)  debe satisfacer doscondiciones suficientes (pero no necesarias). 1. Que cada uno de los "vectores" componentes en la segunda integral en (4-3) sean finitos (función acotada), es decir, deben existir dos números M y Oo tales que (4-4) 2 Que la sumatoria sea finita, es decir,                                                                                                                        (4-5) Nótese que (4-5) secumple siempre y cuando F = Re(s) > Oo. Por esta razón Oo se conoce con el nombre de abcisa de convergencia de F(s). Debido a que la mayoría de las funciones que se consideran en el análisis  y diseño  de redes eléctricas satisfacen (4-4) y (4-5) se supone en lo sucesivo que ellas son transformables. Aunque pueda parecer a primera vista que la integral (4-1) es difícil de evaluar, realmente  no lo  es.  Además,  para  la  mayoría  de  funciones  de  interés  se conocen sus transformadas de Laplace, las cuales se encuentran tabuladas y no es necesario evaluarlas cada vez que se presenten, por lo que (4-1) se utiliza muy poco en la práctica. 4.3  PROPIEDADES BASICAS DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Si f(t) = 0 t < 0 y es transformable, es decir, satisface (4-4) y (4-5) se pueden obtener algunos  resultados  útiles  que  se  derivan  de  la  definición  (4-1) integrando por partes cuando sea necesario. LINEALIDAD Si a y ß son constantes escalares:                                                                                                  (4-6) TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA Nótese que (4-7) es válida únicamente si (4-7) (4-8) lo cual es consecuencia de la regla de L'Hospital...
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