Tranzformada z

CAP´ITULO 6

TRANSFORMADA DE LAPLACE

6.1. INTRODUCCION

Definicio´n 6.1. Sea f (t) una funcio´n definida para todo t ≥ 0; se define la
Transformada de Laplace de f (t) as´ı:

£{f (t)}(s) = F (s) =
Z ∞
e−st f (t)dt
0
Z b
= l´ım
b→∞
e−st f (t)dt,
0

si el l´ımite existe.

Teorema 6.1.
Si f (t) es una funcio´n continua a tramos parat ≥ 0 y adema´s |f (t)| ≤ M ect
para todo t ≥ T , donde M es constante , c > 0 constante y T > 0 constante,
entonces £{f (t)}(s) existe para s > c.

Demostracin: veamos que la siguiente integral existe, en efecto:

|£{f (t)}(s)| =
¯Z ∞
¯
¯
¯
e−st f (t)dt¯ ≤
Z ∞
|e−st ||f (t)|dt
¯ 0 ¯ 0
Z ∞
= e−st |f(t)|dt, sabiendo que e−st > 0
0

215

Z T Z ∞
= e−st |f (t)|dt +
0 T
e−st |f (t)|dt
| {z }
I1
| {z }
I2

I1 =
Z T
e−st |f (t)|dt existe, ya que f es continua a tramos
0

I2 =
Z ∞
e−st |f (t)|
T | {z}
≤ M ect
dt ≤
Z ∞
e−st M ectdt = M
T
Z ∞
e(−s+c)t dt
T
M
=
−(s − c)
M
¯∞
e−(s−c)t ¯
¯T
, suponiendo que s − c > 0

M
= − s − c (0 − e
−(s−c)T ) = e s − c
−(s−c)T
Luego, £{f (t)}(s) existe, si s > c. ¥
NOTA: a) cuando f (t) ≤ |f (t)| ≤ M ect para t ≥ T , entonces decimos que f (t) es de orden exponencial(ver figura 6.1).

f (t)

M ect , (c > 0)

(0, M ) •
f (t)
•

T t

Figura 6.1

b) Si f (t) es de orden exponencial, es decir, |f (t)| ≤ M ect para t ≥ T y
c, M constantes, entonces

l´ım e−st f (t) = 0, s > c
t→∞6.1. INTRODUCCION

En efecto, como |f (t)| ≤ M ect, entonces |e−st f (t)| ≤ M e−(s−c)t y como
(s−c)t
l´ımt→∞ e−
= 0, si s > c, entonces por el teorema de estriccin en lmites,
se concluye que

luego

l´ım |e−st f (t)| = 0, s > c,
→∞

l´ım e−st f (t) = 0, s > c
t→∞
Observacio´n: £ es un operador lineal, en efecto

£{αf (t) +βg(t)}(s)

def.
=
Z ∞
e−st (αf (t) + βg(t)) dt
0
Z ∞
= α e−st f (t) dt + β
0
Z ∞
e−st g(t) dt
0
= α£{f (t)}(s) + β£{g(t)}(s)

Teorema 6.2.

1). £{1}(s) = 1

, s > 0, £{k}(s) = k , s > 0, k constante.
2). £{tn }(s) = n! , s > 0, n = 1, 2, . . .

3). £ eat (s) = 1 ,para s > a
s−a
4). £{ sen kt}(s) = k , s > 0
5). £{cos kt}(s) = s , s > 0
6). £{ senh kt}(s) = k , s > |k|
7). £{cosh kt}(s) = s , s > |k|
8). £{tn eat}(s) = n! , s > a, n = 1, 2, . . .

Demostracin: 1). Si s > 0 se tiene que
Z ∞

e−st ¯∞
£{1}(s) =
0
e−st 1 dt =
¯ = 1
−s ¯0 s2). Hagamos la demostracio´n por el m´etodo de induccio´n. Para ello, suponemos

que s > 0 y utilizamos el siguiente limite: l´ım | t | = 0, n = 1, 2, . . .
t→∞ e
Z ∞ ½ u = t ⇒ du = dt
n = 1 : £{t}(s) =
e−st t dt, hagamos
0
dv = e−st
dt ⇒ v = − 1 e−st
te−st ¯∞
1 Z ∞ st
= ¯ +
s ¯0 s 0
e−dt

1
£{t}(s) = −(0 − 0) +

1
= − s2 (0 − 1) =
¯∞
−st ¯
−s ¯0
1
s2
Supongamos que se cumple para n − 1 y veamos que se cumple para n. En efecto:
Z ∞ ½ u = tn ⇒ du = ntn−1 dt
£{tn }(s) =
e−st tn dt hagamos
0
dv = e−st
dt ⇒ v = − 1 e−st
tn e−st ¯∞
n Z ∞

st n 1
= ¯ +
s ¯0 s 0
e− t − dt...