Trasformada de laplace

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Unidad Dos
Aplicaciones de la Transformada de Laplace y su Inversa
El método de la transformada de Laplace para solucionar ecuaciones diferenciales, tiene varias ventajas sobre otros métodos, por ejemplo, transforma ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas, otra ventaja es que cualquier condición inicial dada, automáticamente se incorpora en el problema algebraico; también existentablas que simplifican de manera significativa el trabajo.
La transformada de Laplace no solamente se usa para resolver ecuaciones diferenciales, también se utiliza para evaluar integrales y resolver ecuaciones integrales. Existen algunos conceptos que se deben repasar antes de definir a la transformada de Laplace.
Integrales Impropias
Las integrales definidas cuyo límite de integración tienden ainfinito, se nombra integrales impropias.
Definición de integral impropia con límite superior infinito. Si f es continua para toda x≥a, entonces:
a+∞fxdx= limb→+∞abfxdx
Definición de integral impropia con límite inferior infinito. Si f es continua para toda x≤b, entonces:
-∞bfxdx= limb→-∞abfxdx

(Tomadas de Leithold, 1998, p. 619)
En las definiciones anteriores, si el límite existe, se diceque la integral impropia es convergente. Si los dos límites tienden a infinito, entonces la integral impropia queda definida de diferente forma.
Si f es continua para todos lo s valores de x y c es cualquier número real, entonces:
-∞+∞fxdx= limb→-∞acfxdx+ limb→+∞cbfxdx
(Tomada deLeithold, 1998, p. 621)
Ejemplos (Avendaño & Opazo, 2002):

Función seccionalmente continúa.

Se dice queuna función f(t) es continua por segmentos o seccionalmente continua en un intervalo cerrado [a,b] si f(t) es continua en todo punto de [a,b], excepto en un numero finito de puntos en los que f(t) tiene una discontinuidad de salto.

Función de orden exponencial
Se dice que la función f(t) es de orden exponencial si existen números, M > 0 y T > 0 tales que |f(t)| ≤ Mekt para t > T.Esto significa que la función f(t) está por debajo de una función exponencial (Figueroa, 2005).

Ejemplo: Verificar que la siguiente función es de orden exponencial.

Aplicando la regla de L'Hôpital

para cualquier número positivo k. Por lo tanto, si t es suficientemente grande |t3|<et, y así t3 es de orden exponencial.

Definición de la transformada de Laplace
Sea una función f (t)definida para t≥0, la transformada de Laplace de dicha función queda definida como:
Lf(t)=0∞e-stftdt=F(t)
Donde L se llama operador de la transformada de Laplace. El factor e-st es un “factor de amortiguamiento” el cual para cualquier valor fijo positivo de s tiende a decrecer al crecer t. Intuitivamente hablando, esperaríamos que la integral converja, y así exista la transformada de Laplace,con tal que F(t) no “crezca tan rápidamente” al crecer t (Spiegel, 1983, p. 268). Por lo tanto f(t) debe ser una función de orden exponencial. Es importante mencionar que para que exista la transformada de Laplace de una función, ésta puede ser seccionalmente continua. Lo anterior se resume en el siguiente teorema:

Teorema. Si F(t) es de orden exponencial α y es seccionalmente continua en todointervalo finito 0 ≤ t ≤ T entonces la transformada de Laplace de F(t) existe para todo s > α.

Se debería enfatizar que la hipótesis de este teorema garantiza la existencia de la transformada de Laplace. Sin embargo si estas condiciones no se satisfacen no quiere decir que la transformada de Laplace no exista.

Propiedades de la Transformada de Laplace
La siguiente tabla muestra otraspropiedades y teoremas sobre la transformada de Laplace.
(Tomado de Kuo, 1996, p. 35)
Existen tablas para funciones elementales que permiten calcular la transformada de Laplace de forma directa.
(Tomado de Kuo, 1996, pp. 887-888)

Ejemplo:
f(t) = 3 e -4t + 1/2 cos 5t + 3/4 t3 + 8
L {f(t)} = L { 3 e -4t + 1/2 cos 5t + 3/4 t3 + 8 }
L {f(t)} = L { 3 e - 4t } + L { 1/2 cos 5t } + L { 3/4 t3...
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