Trasformada de laplace

INTRODUCCIÓN

En general, una transformada integral es una asociación de la función
F(s) = AK(s,t)f(t) dt
Con la función f para alguna función fija K llamada núcleo y algún rango fijo A de integración. Tales operaciones son comunes en la física matemática. Así, la transformada de Fourier es una transformada integral con núcleo
K(S,T) = e2πistOtra transformada integral común es la transformada de Laplace, con núcleo
K(s,t) = e−st
y rango (0, +∞). Las transformadas de Laplace tienen importantes aplicaciones en matemática pura y aplicada. Por ejemplo, son importantes en los problemas de valores iniciales que se refieren a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes ya que en términos de las transformadas, losproblemas pasan a ser problemas algebraicos.
En esta sección introduciremos y estudiaremos primeramente la transformada de Laplace, desarrollando algunas de sus propiedades más básicas y útiles. Después veremos su aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales.

TRANSFORMADA DE LAPLACE
* DEFINICION DE TRANSFORMADA DE LAPLACE
* TRANSFORMADA INVERSA
* TRANSFORMADA DE DERIVADAS,INTEGRALES Y FUNCIONES PERIÓDICAS
* APLICACIONES

1. DEFINICION DE TRANSFORMADORA DE LAPLACE

En el modelo matemático lineal de un sistema físico, como el de una masa y resorte o de un circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial.

md2xdt2 + βdxdt +kx = f (t) o Ld2qdt2 + Rdqdt +1cq = E(t)

es una función forzada, y puede representar una fuerza externaf(t) o a un voltaje aplicado E(t). Mayormente las funciones f y E son continuas. Sin embargo, no es raro encontrarse como funciones por tramos; por ejemplo el voltaje aplicado a un circuito podría ser uno de los que se muestran en la figura 1. Es difícil, pero no imposible, resolver la ecuación diferencial que describe el circuito en este caso. La transformada de LaPlace que estudiaremosen este capítulo es una valiosa herramienta para resolver problemas como el anterior.

Propiedad de linealidad.- En el curso elemental de cálculo aprendimos que la diferencia y la integración transforman una función en otra función; por ejemplo, la función f(x)=X2 se transforma, respectivamente, en una función lineal, una familia de funciones polinomiales cúbicas y en una constante,mediante las operaciones de diferenciación, integración indefinida e integración definida:

dx2dt = 2x x2dx= x33+ c1 03x2dx=9

Además, esas tres operaciones poseen la propiedad de linealidad. Esto quiere decir que para cualesquier constantes α y β,

(1)

Siempre y cuando exista cada derivada e integral.

Si f(x,y) es unafunción de dos variables, una integral definida de f con respecto a una de

las variables produce una función de la otra variable; por ejemplo, al mantener y constante, 122xy2dx= 3y2. De igual forma, una integral definida como abKs,tf(t)dt, transforma una función f(t) en una función de la variables. Nos interesan mucho las transformadas integrales deeste último tipo, cuando el intervalo de integración es [0,+∞) no acotado.

Definición Básica.- Si f (t) está definido cuando t ≥ 0, la integral impropia 0∞Ks,tf(t)dt se define como un límite:

0∞Ks,tf(t)dt =

Si existe el límite, se dice que la integral existe 0 que es convergente; si no existe el límite, la integral no existe y se dice que es divergente.En general, el límite anterior existe sólo para ciertos valores de la variable s. La sustitución K(s, t) = e-ts proporciona una transformación integral muy importante.

Cuando la integral definitoria (2) converge, el resultado es una función de s. En la descripción general emplearemos letras minúsculas para representar la función que se va a...