Triangulacion

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TRIANGULACIÓN DE PUNTOS
La triangulación es la división de una superficie o polígono plano en un conjunto de triángulos, con la restricción de que cada lado del triángulo se reparta entre dos triángulos adyacentes.
Análogamente se define una triangulación de una nube de puntos del plano como  una partición del cierre convexo en triángulos. La estructura es una familia maximal de triángulos deinteriores disjuntos cuyos vértices son puntos de la nube y en cuyo interior no hay ningún punto de la nube.
Triangulación: es una red de triángulos que cumple la condición de Delaunay. Esta condición dice que la circunferencia circunscrita de cada triángulo de la red no debe contener ningún vértice de otro triángulo. Se usan triangulaciones de Delaunay en geometría por ordenador, especialmenteen gráficos 3D por computadora.
Se le denomina así por el matemático ruso Boris Nikolaevich Delone (Борис Николаевич Делоне, 1890 - 1980) quien lo inventó en 1934;1 el mismo Delone usó la forma francesa de su apellido, «Delaunay», como apreciación a sus antecesores franceses.
Aplicación
En gráficos 3D por computadora se usan redes de polígonos para modelar objetos tridimensionales, juntando lospolígonos para imitar la superficie del objeto. En general se usan triángulos porque son los polígonos más simples y tienen muchas propiedades favorables, como que representan una superficie coplanar.
Hay dos formas de modelar un objeto de superficies: modelarlo de mano o escanearlo con un range scanner. Al escanearlo se produce un relieve de la superficie formado por puntos discretos (ver Fig.1). Para usar ese relieve hay que transformarlo en una red de triángulos (ver Fig. 2); esa transformación se llama «triangulación»

Fig. 2. Es fácil construir cualquiera triangulación simplemente conectando los vértices.

Fig. 1. De algunos puntos se quiere construir una triangulación
Fig. 3. Con la condición de Delaunay se puede examinar si la triangulación es útil.
La triangulación deDelaunay maximiza los ángulos interiores de los triángulos de la triangulación. Eso es muy práctico porque al usar la triangulación como modelo tridimensional los errores de redondeo son mínimos. Por eso, en general se usan triangulaciones de Delaunay en aplicaciones gráficas.

Condición de Delaunay

La circunferencia circunscrita de un triángulo es la circunferencia que contiene los tresvértices del triángulo.
Según la definición de Delaunay la circunferencia circunscrita es vacía, si no contiene otros vértices aparte de los tres que la definen.
La condición de Delaunay dice que una red de triángulos es una triangulación de Delaunay si todas las circunferencias circunscritas de todos los triángulos de la red son vacías. Esa es la definición original para espacios bidimensionales. Esposible ampliarla para espacios tridimensionales usando la esfera circunscrita en vez de la circunferencia circunscrita. También es posible ampliarla para espacios con más dimensiones pero no se usa en la práctica.
Esa condición asegura que los ángulos del interior de los triángulos son lo más grandes posible. Es decir, maximiza la extensión del ángulo más pequeño de la red.

Fig. 4. Los tresvértices A, B, C del triángulo ABC están a la misma distancia del circuncentro O.

Propiedades

Triangulaciones de Delaunay tienen las propiedades siguientes:

* La triangulación forma la envolvente convexa del conjunto de puntos.
* El ángulo mínimo dentro de todos los triángulos está maximizado.
* La triangulación es unívoca si en ningún borde de circunferencia circunscrita hay másque tres vértices.

Triangulación de superficies

La triangulación de superficies es un método de obtener áreas de figuras poligonales, normalmente irregulares, mediante su descomposición en formas triangulares. Lógicamente, la suma de las áreas de los triángulos da como resultado el área total.
El área de un triángulo se halla mediante la siguiente ecuación:

Siendo S la superficie, b...
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