Trigonomeetria

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Cap´ ıtulo 5 Trigonometr´ ıa
En este cap´ ıtulo se estudian los conceptos trigonom´tricos fundamentales para establecer e la definici´n de una funci´n trigonom´trica, concepto que a su vez ser´ de gran utilidad en o o e a el desarrollo de los m´todos tanto del c´lculo diferencial como del c´lculo integral. e a a Se inicia este tema con la definici´n geom´trica de ´ngulo, ver figura 5.1. o e aDefinici´n 5.1. Un ´ngulo es la figura geom´trica generada al rotar una semi-recta sobre o a e su punto inicial, el cual permanece fijo.

Figura 5.1: Definici´n de angulo o ´ En la figura 5.1 a) se identifican dos caracter´ ısticas de la semi-recta: su punto de inicio, O, y su punto final A (el cual tiene forma de punta de flecha). En este caso, figura 5.1 b), la semi-recta se rot´ en sentido lev´giro, y sedenota al angulo como AOB, siendo B el punto o o ´ final de la semi-recta rotada, y se llama lado inicial del ´ngulo a la semi-recta en su posici´n a o inicial y lado terminal del angulo a la semi-recta rotada. La apertura entre las posiciones ´ inicial y final de la semi-recta es la magnitud del ´ngulo, y se denota com´nmente por letras a u griegas min´sculas o letras ar´bigas may´sculas, como semuestra en la figura 5.1 c). Es u a u frecuente que la magnitud del ´ngulo se nombra como si fuera el angulo mismo, con lo cual a ´ se debe tener cuidado al estar trabajando los ´ngulos y sus magnitudes. El punto O se llama a 1

2 v´rtice del ´ngulo. e a Ejemplo 5.2. Trazar los siguientes ´ngulos: a a) 60◦ b) 315◦ c) 210◦ d) 360◦

CAP´ ITULO 5. TRIGONOMETR´ IA

Soluci´n: o En las figuras 5.2,5.3, 5.4, 5.5, se muestran los angulos solicitados. ´

´ Figura 5.2: Angulo de 60◦

´ Figura 5.3: Angulo de 315◦ Una unidad de medida de los ´ngulos es el grado (◦ ). Este se define como la 1/360 parte a 1 ◦ o ı, ´ de una revoluci´n, es decir, 1 = 360 de una revoluci´n. As´ si se desea especificar un angulo o con una apertura de 20◦ , se denota por θ = 20◦ . Para angulos cuyas aperturas son menores´ al grado, se emplean las subunidades, minuto (’) y segundo (”). El minuto se define como 1 1 de un grado, es decir, 1◦ = 60 . Y el segundo est´ definido como 60 de minuto, esto es, a 60 1 = 60 .

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´ Figura 5.4: Angulo de 210◦

´ Figura 5.5: Angulo de 360◦ Ejemplo 5.3. Exprese los siguientes angulos con subunidades: 23,5◦ , 42,34◦ ´ Soluci´n: o Usando las subunidades de minuto y segundo:23,5◦ = 23◦ + 0,5◦ 42,34◦ = 42◦ + 0,34◦ 60 1◦ 60 1◦ = 23◦ 30 , = 42◦ 20,40 = 42◦ 20 + 0,4 60 1 = 42◦ 20 24

El grado como unidad de medida de un angulo es ampliamente usado en aplicaciones ´ t´cnicas, mientras que en aplicaciones donde se requiere el uso del c´lculo, como en ingee a nier´ y ciencias, la unidad usada es el radi´n. Para definir el radi´n primero se define el ıa a a angulo central deun c´ ´ ırculo, que es aquel ´ngulo con v´rtice en el centro del c´ a e ırculo y subtendido por un arco del propio c´ ırculo, figura 5.6. Como se ve en la figura 5.6, el angulo central, θ, est´ subtendido por el arco AB. Con lo ´ a anterior se define el radi´n como la medida del ´ngulo central de un c´ a a ırculo subtendido por un arco de longitud igual al radio del c´ ırculo. As´ la relaci´n entrelos grados y los radianes ı, o se obtiene a partir de la circunferencia. Por una parte, de la definici´n de grado, se sabe que o una circunferencia subtiende un angulo central de 360◦ y, por otro lado se conoce bien que ´ la circunferencia de un c´ ırculo es 2πr, es decir, el radio de la circunferencia se puede trazar

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CAP´ ITULO 5. TRIGONOMETR´ IA

´ Figura 5.6: Angulo radian 2 vecessobre la circunferencia misma. Con lo que se tiene que, 360◦ = 2π. De esta relaci´n se pueden trabajar dos razones de cambio: π/180◦ para convertir de o grados a radianes y 180◦ /π para convertir de radianes a grados. Ejemplo 5.4. Convertir los siguientes ´ngulos de grados a radianes. a a) 30◦ b) 90◦ c) 135◦ d) 270◦ Soluci´n: o π = π/6 180◦ π b) 90◦ = 90◦ = π/2 180◦ π c) 135◦ = 135◦ = 3π/4 180◦ π...
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