trigonometria plana

Material de Estudio

Módulo 2
MODULO 2: TRIGONOMETRÍA PLANA
“No hay un camino lógico que conduzca al camino de leyes elementales. El
único camino es el de la intuición que nace del sentimiento de que tras las
apariencias hay un orden”
ALBERT EINSTEIN

INTRODUCCIÓN
La Trigonometría fue desarrollada por los astrónomos
griegos, quienes consideraban el firmamento como el
interior de unaesfera, por lo que fue natural que los
triángulos
sobre
una
esfera
se
estudiaran
tempranamente (por Menelao de Alejandría alrededor
del año 100 d. C.) y que los triángulos sobre un plano
no se estudiaran hasta mucho
después. El primer libro con un
tratamiento
sistemático
de
la
trigonometría plana y esférica fue
escrito por el astrónomo persa Nasir Ed-din (aproximadamente en
el año1250 d. C.).
A Regiomontano (1436-1476) se le atribuye haber llevado la Trigonometría del
campo de la Astronomía al de la Matemática. Su trabajo fue mejorado por
Copérnico (1473-1543) y por Retico (1514-1576), discípulo de Copérnico. El libro
de Retico fue el primero en definir las seis funciones
trigonométricas como relaciones entre los lados de un triángulo,
aunque no fue ahí donderecibieron sus nombres actuales. El
crédito por esto se le debe a Thomás Fincke
(1583), aunque en su época no se aceptó
universalmente la notación utilizada por él. La
notación actual se estableció finalmente en los libros de texto de
Leonard Euler (1707-1783).
La Trigonometría ha evolucionado desde entonces, de su uso por
topógrafos, navegantes e ingenieros hasta las
aplicaciones actuales en elestudio de las mareas
oceánicas, el alza y la caída de la producción de alimentos en
ciertos ambientes ecológicos, los patrones de ondas cerebrales y
en muchos otros fenómenos.

Módulo 2: Trigonometría Plana

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1. Ángulo. Sistemas de medición

Ángulo
Consideremos un punto O del plano y una semirrecta que gira alrededor de él
desde una posición inicial r a unaposición final r' . Se llama ángulo a la región
del plano comprendida entre ambas posiciones; llamadas lado inicial y lado final
respectivamente.

r’

r’

lado final

lado final

O

r

lado inicial

O

lado inicial

r

O

O

Se puede fijar el sentido de giro de un ángulo.
Siendo positivo (+) en sentido antihorario y negativo
(–) en sentido horario. También es posiblegenerar ángulos
positivos o negativos cuya amplitud supere un giro

Sistemas de medición de ángulos
Para medir ángulos se utilizan distintos sistemas de medición:


SEXAGESIMAL: En este sistema, una circunferencia tiene 360° (360 grados
sexagesimales). La unidad de medida es el grado sexagesimal.
Un grado sexagesimal (°) tiene 60 minutos (’), un minuto tiene 60 segundos
(”).

CENTESIMAL: En este sistema una circunferencia tiene 400G (400 grados
centesimales). La unidad de medida es el grado centesimal.
Un grado (G) tiene 100 minutos (M), un minuto tiene 100 segundos (S).

Módulo 2: Trigonometría Plana

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

RADIAL: El sistema de medición de ángulos más utilizado es el sexagesimal.
Cuando se quiso utilizar este sistema en Física, parapoder calcular el camino desarrollado por alguna
partícula en trayectoria circular, se encontró que el
sistema

sexagesimal

no

ayudaba,

pues

matemáticamente no está relacionado con el arco
que describe el cuerpo al moverse. De esa manera se “inventó” otro sistema
angular, el sistema radial o circular, donde la medida del ángulo se obtiene
al dividir el arco y el radio de lacircunferencia. En este sistema la unidad de
medida es el radián (se simboliza rad).Un ángulo
llano (al dividir el arco por el radio) mide 3,14…
(que es el valor aproximado de “”). De esa
manera un giro completo (que es lo mismo que dos
ángulos llanos) mide 2 rad.

Equivalencia entre los tres sistemas:
De las definiciones dadas se desprende que

1 giro  2 rad  360º  400G
1 llano  ...