Trigonometria

ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
• EL ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO SE OBTIENE GIRANDO UN RAYO ALREDEDOR DE SU ORIGEN. B O
SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO

θ)

)

SENTIDO DE GIRO HORARIO

<

POSITIVO

OA : LADO INICIAL OB : LADO FINAL O: VÉRTICE

<

<
A

α ) NEGATIVO

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR
• SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS) GRADO :

1

o

MINUTO :

EQUIVALENCIAS
'

1
"'

SEGUNDO :

1

"

1 = 60 1 = 60 1 = 3600
o

'

o

"

1vuelta= 360

o

EJEMPLO Calcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal , sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el doble de su número de grados sexagesimales es igual a 155. SOLUCIÓN Sea S = número de grados sexagesimales Entonces el número de minutos sexagesimales = 60S Dato :

60S + 2S = 15562S = 155

5 S= 2 5º 4º 60 ' = = 2º 30 ' El ángulo mide : 2 2
155 5(31) S= = 62 2(31)

• SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR) EN ESTE SISTEMA LA UNIDAD DE MEDIDA ES EL RADIÁN. UN RADIÁN ES LA MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL QUE SUBTIENDE EN CUALQUIER CIRCUNFERENCIA UN ARCO DE LONGITUD IGUAL AL RADIO. R
. .

SISTEMAS DE MEDICIÓN ANGULAR

)1rad
R

R

1vuelta = 2πrad
1ra d = 5 7 o 1 7 ' 45 ''

RELACIÓN ENTRE LOS DOS SISTEMAS

180º = p Rad
ESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIR DE UN SISTEMA A OTRO.
EJEMPLOS EN EL SIGUIENTE CASO CONVERTIR A RADIANES

A)θ = 540

54O ⎛ πrad ⎞ = 3π rad ⎜ o ⎟ 10 ⎝ 180 ⎠

EN EL SIGUIENTE CASO CONVERTIR AL SISTEMA SEXAGESIMAL

2π 2(180o ) A) rad ........... 3 3

= 120

o

FACTORES DE CONVERSIÓN

DE GRADOS SEXAGESIMALES A RADIANES DERADIANES A GRADOS SEXAGESIMALES

πrad 180 o

π ra d = 1 8 0

o

FÓRMULA DE CONVERSIÓN

R S = π 180
S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES R : NÚMERO DE RADIANES

TEOREMA DE PITÁGORAS
A
HIPOTENUSA CATETO

B

CATETO

C

(CATETO)2 + (CATETO)2 = (HIPOTENUSA ) 2
5 4

12 13

5

21

29 20

3

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ANGULOS AGUDOS
HIPOTENUSA

CATETO OPUESTO A

θCATETO ADYACENTE A SENO

θ

θ

CatetoOpuestoaq senq = Hipotenusa

COSENO

CatetoAdyacenteaθ cos θ = Hipotenusa

TANGENTE

CatetoOpuestoaθ tan θ = CatetoAdyacenteaθ

COTANGENTE

CatetoAdyacenteaθ cot θ = CatetoOpuestoaθ
Hipotenusa csc θ = CatetoOpuestoa θ

SECANTE

Hipotenusa sec θ = CatetoAdyacenteaθ

COSECANTE

EJEMPLO : H 12

TEOREMA DE PITÁGORAS

θ

35

H =1369 = 37

H = 12 + 35
2 2

2

senθ =
cosθ =
EJEMPLO :

12 37 35 37

tan θ =
cot θ =

12 35 35 12

sec θ =
csc θ =

37 35 37 12

Sabiendo que

θ es un ángulo agudo tal que senθ=2/3.....
3 2

θ

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS

1 senθ = csc θ
senθ csc θ = 1
EJEMPLOS

1 cos θ = sec θ
cosθ secθ = 11 tan θ = cot θ
tan θ cot θ = 1

1 A) = csc 36o sen36 o

1 B) = sec17o cos17o

C) tan 49o cot 49o = 1

D)sen2θ csc2θ = 1
θ = 63o

E) cos 63o sec θ = 1

F) tan 2φ cot θ = 1

2φ = θ

PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGOMOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS PROPIEDAD : “LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO SONRESPECTIVAMENTE IGUALES A LAS CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE SU ÁNGULO COMPLEMENTARIO” A LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS SENO Y COSENO TANGENTE Y COTANGENTE ;SECANTE Y COSECANTE SE LES DENOMINA :CO-RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

b

φ

c
a

senθ = cos φ
cos θ = senφ

cot θ = tan φ

sec θ = cscφ csc θ = sec φ

θ

tan θ = cotφ

EJEMPLOS

A)sen25o = cos 65o ............... 25o + 65o = 90O B) tan 43o= cot 47o ............... 43o + 47o = 90O

C)sec60o = csc30o ............... 60o + 30o = 90O D)senθ = cos 20o o O θ + 20 = 90 θ = 70o E) tan 5α = cot α
⎛π⎞= F)sen ⎜ ⎟ ⎝5⎠ π π θ+ = 5 2

5α + α = 90

o

α = 15o

cos θ
π π θ= − 2 5

3π rad θ= 10

TRIÁNGULOS NOTABLES

1

60O

2
3

)
)

)

30o (

1

45 o

2

1
1 sen30 = 2
o

45 o(

3

53

o

5
4
37...