U4 3 area-bajo-la-curva

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Introducción a la interpretación del área bajo las curvas en las gráficas Hasta ahora hemos analizado el comportamiento del movimiento uniformemente acelerado a través de la solución de ecuaciones cuadráticas y la correspondiente interpretación de los parámetros involucrados en dichas ecuaciones. Sin duda alguna, la herramienta poderosa que nos ofrecen las matemáticas con las ecuaciones es deenorme ayuda por su generalidad y gran precisión. Sin embargo, en algunas ocasiones se presentan situaciones que involucran MUA de los cuales contamos con una gráfica de comportamiento v vs. t , o bien a vs. t. Y si únicamente necesitamos comparar entre sí las distancias recorridas de los móviles o bien sus velocidades instantáneas, entonces es muy útil observar las áreas bajo la curva de susrespectivas gráficas. ¿Suena complicado? Veamos:

En esta sección veremos que el área bajo las curvas en las gráficas puede proporcionarnos información como la distancia recorrida, la velocidad promedio y la velocidad que tienen los móviles en un instante dado de su recorrido. Velocidad vs tiempo Seguramente recordarás que las gráficas v vs. t para el MUA muestran líneas rectas, pero si no recuerdaslos ejemplos consúltalos:

Las gráficas v vs. t en el MUA nos indican que la velocidad varía uniformemente. Por ello, para ciertos cálculos, podemos obtener una velocidad promedio a partir de las velocidades inicial y final de todo el recorrido:

También podemos calcular gráficamente la velocidad promedio obteniendo el punto medio de la recta que representa el recorrido completo, como semuestra en la gráfica de velocidad promedio. Por otra parte, podemos obtener la distancia recorrida con la ayuda de alguna de las siguientes fórmulas:

Comentario [w1]:

La distancia recorrida de manera gráfica Efectivamente, en un MUA podemos conocer la distancia recorrida por el móvil si en una gráfica v vs t calculamos el área que se encuentra entre el eje horizontal y la línea que representa almovimiento, y dicha área la interpretamos como la distancia recorrida. A este proceso se le conoce como obtener el área bajo “la curva”. Lo anterior es válido y puede hacerse gracias a que dicha área está conformada básicamente por el producto de dos variables: la velocidad y el tiempo. Este producto nos conduce a hallar la distancia recorrida. Podemos corroborar lo anterior al fijarnos en lasunidades de las variables involucradas:
Comentario [w3]: SI Sistema Internacional de unidades que comprende a las unidades fundamentales: metro, segundo, kilogramo, Ampere, candela, mol, Kelvin, radián, esteroradián.

Comentario [w2]: La curva Línea que aparece en una gráfica, sin importar si se trata de una línea recta, curva u otra forma.

(unidades de la velocidad en el SI) (unidades deltiempo en el SI)

(¿falta algo antes del signo de igual?)

Como en todos los casos anteriores, en que se analiza un nuevo fenómeno, debemos comenzar por el caso más sencillo y después agregar las variantes posibles. En este caso vamos a comenzar recordando el ejemplo del auto de la familia de Vicky cuando sale de vacaciones. El auto se desplaza con MUA de acuerdo a su tabla de datos. Consulta latabla Tiempo (s) Velocidad (m/s) 0 0 1 4 2 8 3 12 Por ahora, vamos a interesarnos en el movimiento del auto en el lapso de los primeros tres segundos. Si observamos la gráfica comprendida entre t = 0 s y t = 3 s, tendremos que el área bajo la curva será el triángulo equilátero debajo de la recta diagonal.

Comentario [w4]:

Sabemos que el área de este triángulo está dada por:

Área deltriángulo Esto significa que la distancia recorrida por el auto de la familia de Vicky en los primeros tres segundos es de 18 m. Queremos que observes cuidadosamente la fórmula para obtener el área del triángulo que acabamos de usar y la compares con una de las fórmulas que tenemos para el MUA. Determina cuáles son las coincidencias entre ellas:
Comentario [w5]: Como ya se mencionó, el área del...
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