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3URI/XLV1~xH] DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

1 

Se estudia aquí uno de los conceptos fundamentales del cálculo diferencial: la derivada de una función. Además de la definición y suinterpretación, se hallarán las derivadas de algunas funciones de uso
frecuente.

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN NÚMERO Sea y = f(x) una función y x0 un número del dominio de la función. Si se toma un valor x0 + hmuy próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante que une los puntos (x0,f(x0 )) y (x0 + h,f(x0 + h)) se aproxima a la tangente a lacurva en el punto (x0,f(x0 )). La pendiente de la recta secante es f ( x0 + h ) − f ( x0 ) h
recta tangente recta secante F(x0+h) F(x0)

Al hacer tender h a cero, la secante tiende a confundirse con larecta tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )). Por lo tanto la pendiente de la tangente a la curva en el punto (x0,f(x0 )). Se define así:

m = Lim

f ( x0 + h ) − f ( x0 ) h h→0

X0x0+h

Definición de derivada de una función en un punto Dada una función y = f(x), se llama derivada de la función f en un punto x0 al

f'(x0 )

o por

D(f(x0 )).

Es decir

Cuando estelímite existe se dice que la función f es derivable en el punto x0. Interpretación geométrica de la derivada Puesto que la derivada de la función en un punto x0 representa la pendiente de la tangente a lagráfica de la función y = f(x) en el punto (x0, f(x0)). Ejercicio: cálculo de la derivada de una función en un punto Calcular la derivada de la función f(x) = 2x -3 en el punto de abscisa x = 1.Solución: Se pide el valor de f`(1) (en este caso, x0 = 1).

= lim

2(1 + h ) − 3 − ( −1) h h →0

3URI/XLV1~xH]
f ′(1) = lim 2h =2 h →0 h

2 

Calcular la derivada de la función f(x) =Solución: f ′( 2 ) =

x en el punto 2.

Lim

f ( 2 + h) − f ( 2) 2+h − 2 = Lim = Lim h h h →0 h →0 h→0

( (

2+h − 2 2+h + 2 = h 2+h + 2

(

)(

)

)

Lim
h →0

( 2 + h )2 − ( 2...
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