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T´cnicas gr´ficas y de modelizaci´n geom´trica e a o e HOJA 4 Curso 2010-2011 1) Sean p = (p1 , p2 ) y q = (q1 , q2 ) dos puntos del plano R2 . Se define la distancia entre p y q por laexpresi´n o d(p, q) = (p1 − q1 )2 + (p2 − q2 )2 .

Sea r una recta del plano de ecuaci´n ax + by + c = 0 (a, b, c ∈ R). Se define la o distancia entre p y r como d(p, r) = minimo{d(p, q) : q ∈r}. (i) Demostrar que d(p, r) = d(p, q) donde q es la intersecci´n de la recta perpendicular o a r que pasa por p. (ii) Encontrar la expresi´n de la distancia d(p, r) en t´rminos de p1 , p2 ,a, b, c. o e 2) Con la notaci´n del ejercicio anterior se define la par´bola con foco p y directriz r o a como el lugar geom´trico de los puntos q del plano tales que d(q, p) = d(q, r). e(i) Encontrar las ecuaciones de dicho lugar geom´trico. e (ii) Determinar qu´ ocurre si p ∈ r. e (iii) Determinar qu´ forma tienen dichas ecuaciones si la recta r es horizontal. Come probarque en este caso, si p ∈ r, cada recta vertical corta a la par´bola en un / a unico punto. ´ 3) Sea un conjunto A = {p1 , p2 , ..., pn } de puntos del plano R2 y una recta horizontal r deecuaci´n y = c de modo que cada punto pi (i = 1..n) est´ situado en el semiplano o e superior y > c. Definimos las par´bolas P1 , ..., Pn con directriz r y foco en p1 , ..., pn a respectivamente.Definimos la funci´n f : R → R que asigna a cada x el menor y tal o que (x, y) es un punto de alguna de las par´bolas pi . Usando la funci´n min de Maple a o construir un procedimiento quetenga como entrada un conjunto de puntos, una recta horizontal y como salida la gr´fica de la funci´n f . a o 4) Sean p y q dos puntos del plano (p = q) y sean r y s dos rectas del plano (r =s). (i) Describir el lugar geom´trico de los puntos x ∈ R2 que verifican: e d(x, p) = d(x, q). (ii) Describir el lugar geom´trico de los puntos p ∈ R2 que verifican: e d(p, r) = d(p, s).

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