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ECUACIONES DIFERENCIALES 100412

TRABAJO COLABORATIVO 2

DAVID JOSE ANTEQUERA MARDACH

ELIAS ESNEHIDER MONTES HERNANDEZ

TUTOR Roberto de León

UNIVERSIDAD NACIONAL A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS E INGENIERIA BARRANQUILLA – COLOMBIA

EJERCICIOS PÁGINAS 78 y 79 Resolver la ecuación de Bernoulli. 1. +3 =3 = −2 −2 −6 = −2 ( = ′ +3 −6 = −2 ) = (−2 = −2 )( ) = =Hallamos el factor integrante: =
∫

=

Multiplicamos la ecuación por el factor integrante: ( −6 − = = = 1 + 3 = 1 + 3 1 1 + 3 1 3 )= 6 = −2 −2 + (−2 = −2 )

=

2. +2 = 2 = − − −2 =− ( = ′ +2 −2 =− )=− =− ( ) =

Hallamos el factor integrante: =
∫

=

Multiplicamos la ecuación por el factor integrante: ( −2 −2 =− = = 1 2 − + +1 2 2 2 +1 ) = (− ) =−

1 =− + 2 = = 23. + 1 =

=2 = =− − − − 1 + − 1 =( =− )− =

1

=−

Hallamos el factor integrante: =
∫

=

=

=

=

1

Multiplicamos por el factor integrante 1 1 − − 1 1 1 1 = (− ) = −1 = −1 −1 1

1

=

=− + =− =− = 1 − + +

4. −2 ( = −2 )=( )

−2 = = −1 = =2 =

2 ( 2

−2 ) = 2 ( −4 =2

)

−4 = 2 Hallamos el factor integrante: =
∫

=

Multiplicamos porel factor integrante ( − 4 ) = (2 −4 ( = =− =− 2 3 2 3 2 3 ) = 2 2 2 3 + + + =2 )

=−

=

−

+



Hallar la solución general de la ecuación diferencial lineal. 1. +2 = +2 ( =0 =0

+ 2 ) = 0

Ecuación Característica: +2 ( =0

+ 2) = 0 =0 +2= 0 = −2

La solución es: = 1 = 1 + 2 + 2

= 1+ 2

2. +6 = +6 ( +6 +5 + 5) = 0 =0 +5 =0

Ecuación Característica: +6 ( +5)( +5= 0 + 1) = 0

+5=0 = −5 +1=0 = −1 La solución es: = 1 3. +6 = +6 ( +6 +9 + 9) = 0 =0 +9 =0 + 2

Ecuación Característica: +6 ( +9= 0

+ 3) = 0 = −3 = −3

La solución para raíces iguales es: =( 1+ 2 )

4. 9 − 12 = 9 (9 − 12 − 12 +4 + 4) = 0 =0 +4 =0

Ecuación Característica: 9 − 12 +4= 0

(3

− 2) = 0 = = 2 3 2 3

La solución para raíces iguales: =( 1+ 2 )Hallar la solución particular de la ecuación diferencial lineal. 1. − = − ( − − 30 − 30) = 0 =0 − 30 = 0 ; (0) = 1 , (0) = −4

Ecuación Característica: − ( − 30 = 0 + 5) = 0

− 6)( −6=0 =6 +5=0 = −5

Solución General = 1 + 2

Solución Particular Y(0)=1 1= 1+ 2 Y’(0)=-4 =6 1 −5 2

−4 = 6 1 − 5 2 Resolvemos el sistema de ecuaciones: 1+ 2=1 6 1 − 5 2 = −4 (1) (2)

DespejandoC1 y sustituyendo en la ecuación (2) 1=1− 2 6(1 − 2) − 5 2 = −4 6 − 6 2 − 5 2 = −4 −11 2 = −10 2= 10 11

Sustituyendo C2 en la ecuación (1) 1=1− 10 11 − 10 1 = = 11 11 11

La Solución particular es: = 2. +2 = +2 ( +2 +3 + 3) = 0 =0 +3 =0 1 11 + 10 11

Ecuación Característica: +2 = +3= 0 = −(2) ± (2) − 4(1)(3) −2 ± √4 − 12 −2 ± √−8 = = 2(1) 2 2

− ±√ −4 2

=

−2 ± 2√2 = −1 ± 2 √2 2Solución General: = 1 cos 2 √2 + 2 sin 2 √2

Solución particular: Y(0)=2 2= 1 cos 2(0)√2 + 2 sin 2(0)√2

2 = 1 cos 0 + 2 sin 0 1 = 2 Y’(0)=1 =− 1 = − 1 cos 2 √2 + 2 sin 2 √2 + 1 cos 2(0)√2 + 2 sin 2(0)√2 + − 1 sin 2 √2 + 2 cos 2 √2 − 1 sin 2(0)√2 + 2 cos 2(0)√2

1 = −( 1 cos 0 + 2 sin 0) + (− 1 sin 0 + 2 cos 0) 1 = − 1 + 2 Sustituyendo C2 1= 2− 1 1 = 2 − (2) 2 = 3 La soluciónparticular es: = 2 cos 2 √2 + 3 sin 2 √2

Usar el wronskiano y verificar la independencia lineal de las dos funciones. 1. = ′ = = ′ = sin sin cos cos − sin + cos

=

′

′

=

sin

sin +

cos

cos

cos −

sin

=( = =− =−

sin sin

)( cos

cos −

− (sin ) ]

sin

)−(

sin sin

+ cos −

cos

)( (cos

cos )

)

) −

[(sin

) + (cos

Las funcionesson linealmente independientes.

2. = =1 = ′ =2

=

=

1 2 )

= ( )(2 ) − (1)( =2 = −

Las funciones son linealmente independientes.

Resolver por el método de los coeficientes indeterminados. 1. + 9 = sin 3 Solución homogénea +9 = 0

 = +9 ( =0

+ 9) = 0

+9= 0 = −9 = √−9 = ±3 = 1 sin 3 + 2 cos 3 Solución particular ( ( ( ( + 3 ) ( + 9)( + 9) + 9) = ( + 9) = 0 = 0...