unidad 2 modelos matematicos en sistemas de contol

UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE
CONTROLUNIVERSIDAD ALONSO DE OJEDA

FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE COMPUTACION
ASIGNATURA: SISTEMAS DE
CONTROL

UNIDAD 2:
MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE CONTROL

PROFESOR:
ING. GERARDO ALBERTO LEAL

UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE
CONTROL

MODELO MATEMATICO
Es una expresión que permite representar el comportamiento de un procesofísico en función
de las variables que intervienen en dicho proceso.
La aplicación de las Leyes que rigen los procesos generan modelos matemáticos basados en
Ecuaciones Diferenciales (E.D)

MODELO DE UN SISTEMA LINEAL:

u(t)

E.D LINEAL

y(t)

u(t)  variable de Estimulo o Entrada
y(t)  variable de Respuesta o Salida
t
 variable independiente tiempo
E. D Lineal  ecuación diferencial lineal o deprimer grado, es decir
E.D donde la derivada de mayor orden tiene exponente igual a 1

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CONTROL

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Es la relación que existe entre la variable de salida y la variable de entrada de las
transformadas de un Sistema Lineal, donde los valores iniciales son igual a cero.
Y(s)

U(s)

G(s)

Y(s)
G(s) =
U(s)

G(s)

Función deTransferencia

Y(s)

Transformada al Dominio s de y(t)

U(s)

Transformada al Domino s de u(t)

Para realizar la transformación se utilizan las Transformadas de LAPLACE, con el propósito de simplificar los
modelos matemáticos, convirtiendo las ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas.
Transformadas de LAPLACE: Sea f(t) una función continua en el tiempo t ≥ 0, la transformada de Laplace se
definepor:

L {f(t)} = F(s) donde L es el operador de Laplace y s es la variable de Laplace, siendo f(t) la función en el
dominio del tiempo (t) y F(s) la función en el domino de Laplace (s).

L
L--1
Aplicación de la Transformada
de Laplace

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CONTROL

ANALISIS DEL MODELO BASADO EN FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
Y(s)

U(s)

G(s)

Y(s)
G(s) =

Y(s) = U(s) . G(s)

U(s)U(s) es el estimulo de valor conocido e Y(s) es la respuesta del sistema en el dominio s, por lo que
aplicando la antitransformada L-1 se puede obtener la respuesta real del sistema en el tiempo
L-1 { Y(s) } = L-1 { U(s) G(s) } = y(t) Respuesta real del sistema en el dominio real del tiempo

Para encontrar G(s), se aplican:
- Funciones típicas de estimulo (Función Escalón)
- Transformadas deLaplace de Funciones Básicas
- Propiedades de las transformadas de Laplace

Según las Leyes Físicas que se apliquen los procesos pueden ser:
- Sistemas Eléctricos: resistencias, inductancias, capacitancias, ley de Ohm,
ley de Kirchhoff.
- Sistemas de Nivel: tanques válvulas, ley de balance de masas
- Sistemas Mecánicos: masas, resortes, amortiguadores, leyes de newton
- Otros sistemas: térmicos,químicos, velocidad, reactores, entre otros

UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE
CONTROL

MODELOS MATEMÁTICOS DE ELEMENTOS DE SISTEMAS FISICOS

UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE
CONTROL
TRANSFORMADAS, PROPIEDAS Y FUNCIONES TIPICAS DE ESTIMULO EN
SISTEMAS DE CONTROL
Transformadas de LAPLACE:

Funciones Típicas de Estimulo:

UNIDAD 2: MODELOS MATEMÁTICOS EN SISTEMAS DE
CONTROLDINÁMICA DE PROCESOS:
Se refiere al comportamiento y la respuesta de un Proceso, al ser estimulado.
La dinámica de un procesos se puede clasificar según:

 El tipo de Función de Transferencia [ G (s) ]que lo describe.
 El tipo de señal de excitación [ U (s) ].
LOS MODELOS DE PROCESOS MAS COMUNES SON:
 Proceso de primer orden
 Proceso de segundo orden
 Proceso de orden superior

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CONTROL

PROCESO DE PRIMER ORDEN:
Su G(s) presenta en el denominador una ecuación de 1er grado, ya
que se origina de una Ecuación Diferencial de 1er orden.
U(s)

G(s) = K
TS + 1

Y(s)

Y(s) = K
. U(s)
TS + 1

RESPUESTA AL ESCALÓN UNITARIO U(s) = 1/S:

y(t)
K

Régimen
Transitorio
Régimen
Estable

0,63K

T

Y(s) = K
. U(s)
TS + 1
y(t) = K . (1- e-t/T)

t

K = Constante...