Unidad 3. calculo vectorial

3.

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL

INDICE 3.1. Definición de función vectorial de una variable real, dominio y graficación…….2 3.2. Límites y continuidad……………………………………………………………………………………..3 3.3. Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades…………………………………..3 3.4. Integración de funciones vectoriales……………………………………………………………….4 3.5. Longitud dearco……………………………………………………………………………………………..5 3.6. Vector tangente, normal y binormal……………………………………………………………….6 3.7. Curvatura………………………………………………………………………………………………………..6 3.8. Aplicaciones…………………………………………………………………………………………………….7

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3.

FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL 3.1. Definición de función vectorial de una variable real, dominio y graficación. Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector:

Donde x(t), y(t) y z(t) son funcionesllamadas funciones componentes de variable real del parámetro t. Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t). La función vectorial también se puede encontrar representada como �� (��). Por tanto, se llama función vectorial a cualquier función de la forma: �� �� = �� �� , �� �� … … … . ���������� … . ��������������

�� �� = �� �� , �� �� , �� ��

DOMINIO Eldominio de una función vectorial está dado por la intersección de los dominios de cada una de las funciones componentes, es decir: ���� �� �� = ��1 �� , ��2 �� , ��3 �� … … ���� �� ���� ���� = ����1 ∩ ����2 ∩ ����3 ∩ … … . . ������

REPRESENTACIÓN GRÁFICA La representación grafica de una función vectorial es aquella curva C que describen los puntos finales de los vectores que forman parte de lafunción para toda t que pertenece al dominio de la función.

Un punto de la curva C tiene la representación cartesiana (x,y,z) donde: �� = ��1 �� �� = ��2 (��) �� = ��3 (��) Las cuales se llaman ecuaciones parametricas de C. Al asignar números reales a t se elimina el parámetro y se obtienen ecuaciones cartesianas de C. 2

3.2.

Límites y continuidad. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Dada unafunción vectorial �� �� = (�� �� , �� �� , ��(��) lim �� �� = lim �� �� , lim �� �� , lim �� ��
��→�� ��→�� ��→��

��→��

=ℓ

Esto significa que cuando t tiende al valor de a, el vector �� (��) se acerca más y más al vector ℓ. Para que exista el límite de la función, debe existir el límite de cada una de las funciones componentes. CONTINUIDAD Sea �� �� : �� → ℝ�� �� �� ���� ���������� �������������������������� ���� �� ⊆ ℝ. ����á������������������ �� ���� ����������������ó�� ������������������ �������� ������������������ ������������������ �������������� ������ �� �� es continua en a sí y sólo si: Existe el vector �� �� Existe el lim��→�� �� �� lim��→�� �� �� = �� ��

Teorema: Una función con valores vectoriales r(t) es continua en t = a si y sólo si sus funciones componentes f ,g y hson continuas en t = a.

3.3.

Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades. Sea la función vectorial �� �� entonces diremos que �� ′ �� es la derivada de dicha función y se define mediante: �� ′ (��) = lim �� �� + ∆�� − ��(��) ∆��

∆��→0

Para valores cualesquiera de t para los que existe el límite. Cuando el límite existe para t = a se dice que �� �� es derivable en t = a. TeoremaSea �� �� una función vectorial y supongamos que sus funciones componentes f ,g y h son todas derivables para algún valor de t, entonces �� �� es derivable en ese valor de t y su derivada está dada por: �� ′ �� = (��′ �� , ��′ �� , ��′(��)) PROPIEDADES Supongamos que r(t) y s(t) son funciones vectoriales derivables, que f(t) es una función escalar también derivable y que c es un escalarcualquiera, entonces:

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Cuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable indefinidamente y su primera derivada no es nula, decimos que se trata de una curva regular. Al vector �� (��) se le llama vector de posición de la curva y a los vectores �� ′(��) y �� ′′(��) se les llama, respectivamente,...