Unidad: 3. funciones vectoriales de una variable real

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UNIDAD: 3. FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
SUBTEMA: 3.1 DEFINICIÓN DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL DE UNA VARIABLE REAL, DOMINIO Y GRAFICACIÓN

Definición de función vectorial en el plano
Sean f y g dos funciones con valor real de una variable real t. Entonces, para todo número en el dominio común a f y g existe un vector R definido por:
R (t) = f (t) i + g (t) j
y R se llama funciónvectorial o función con valor vectorial
Campo vectorial generado en el espacio
Un campo vectorial asocia un vector a un punto en el espacio, por ejemplo: si F es una función definida en R3 tal que:
F (x, y, z) = M (x, y, z)i + N (x, y, z)j + R(x, y, z)k
Campo vectorial generado en el plano
Definido en el plano tenemos:
F (x, y) = M (x, y)i + N (x, y)j
Si en vez de un vector se asocia unescalar a cada punto en el espacio se tiene un campo escalar; así un campo escalar es una función real.
Ecuaciones paramétricas en el plano
La ecuación R (t) = f (t) i + g (t) j es una ecuación vectorial y define a la curva C; la misma curva c esta definida por:
x = f (t) y y = g (t) que reciben el nombre de ecuaciones parametricas de C. La variable t es un parámetro(como por ejemplo el tiempo). Lacurva se llama también grafica; esto es, se trata del conjunto de todos los puntos (x, y) que satisfacen a x = f (t) y y = g (t) o bien la gráfica de la función vectorial R.
Una ecuación vectorial de una curva, así como de sus ecuaciones paramétricas dan a la curva una dirección en cada punto. Esto es, si pensamos que la curva es descrita por una partícula, podemos considerar el sentido positivoen el cual se mueve la partícula cuando el parámetro t aumenta. En un caso como este, t se puede tomar como la medida del tiempo, y
el vector R (t) se llama vector de posición.
Definición de las ecuaciones paramétricas de una función vectorial en el espacio
Sean f1, f2 y f3 tres funciones reales de una variable real t, entonces para todo numero t en el dominio común a f1, f2 y f3 existe unvector R definido por R (t) = f1 (t) i + f2 (t) j + f3 (t) k
A R se le denomina función vectorial.
La gráfica de una función vectorial en el espacio tridimensional se obtiene de la misma manera, en que obtuvimos la grafica de una función vectorial en 2 dimensiones.
Cuando t toma todos los valores en el dominio de R, el punto terminal de la representación de posición del vector R (t) forma el trazode la curva C y a esta curva se le llama grafica de R.

SUBTEMA: 3.2 LÍMITES Y CONTINUIDAD.
3.2 LÍMITES Y CONTINUIDAD
Definición de límite de una función vectorial con respecto al plano
Sea R una función cuyos valores están dados por R (t) = f (t) i + g (t) j, entonces el límite de
R (t) cuando t se aproxima a t1, esta definida por:


Continuidad
Definición de la continuidad de unafunción vectorial:
La función vectorial R es continua en t1 si y solo si se cumplen las 3 condiciones siguientes:

Definición de la relación entre el límite, la continuidad y la derivación de funciones vectoriales de un escalar:
Del límite de una función vectorial en el espacio.

Las definiciones de continuidad (que es cuando existen cada uno de los límites) y de la derivada de funcionesvectoriales en V2 o R2, son iguales para V3 o R3

No hay continuidad cuando se tiene el cociente de 2 números en donde el divisor es cero, por ejemplo:

o cuando se tiene la raíz de un numero negativo:


SUBTEMA: 3.3 DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES VECTORIALES Y SUS PROPIEDADES.

3.3 DERIVACIÓN DE LAS FUNCIONES VECTORIALES Y SUS PROPIEDADES
Definición de la derivada de una función vectorial enel plano y en el espacio
Si R es una función vectorial, entonces la derivada de R es otra función vectorial representada por R y definida por:

Algunas veces la notación DR (t) se emplea en lugar de R’ (t). Si R es una función vectorial definida por R (t) =f (t) i + g (t) j, entonces R’ (t) = f’ (t) i + g’ (t) j si f’ (t) y g’ (t) existen

La derivada de una función vectorial de un...
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