Unidad iv: derivadas

UNIDAD IV: DERIVADAS.
El problema de la recta tangente.
En cálculo hay 4 problemas en las que las matemáticas europeas trabajaron en el siglo XVII.
* Problema de la recta tangente.
* Problema de la velocidad y la aceleración.
* Problema de máximos y mínimos.
* Problema del área.

Cada uno de ellos involucra la noción del límite ¿qué quiere decir que una recta tangente a unacurva en un punto? Observe las figura 1.

Recta tangente a una curva en un punto.
Afirmando que la recta es tangente a una curva, en un punto P, si toca la curva en P sin atravesarla. Tal definición seria correcta para la primera curva de la figura, pero no para la segunda. También se podría decir que una recta es tangente a una curva si la toca o hace intersección en ella exactamente en elpunto P, definición que serviría para una circunferencia, pero no para curvas generales como se observa en la tercera curva de la figura.

En esencia el problema de encontrar la recta tangente en un punto P se reduce al calcular su pendiente en ese punto. Aproximar la pendiente de la recta tangente usando la recta secante que pasa por P y por otro punto cercano de la curva como se muestra en lafigura 2.

Recta tangente que pasa por P y Q.
Considere que la función F es continua en C y se desea adquirir la pendiente de la recta a la grafica de F en el punto P (C, FCC), SEA I un intervalo que continua en C en la cual F está definida y sea Q (C+ΔX, FCC+ΔX), otro punto sobre la grafica de F tal que C+ΔX, también este en I por lo tanto la recta que pasa por P y Q es una recta secante.
Ladiferencia de abeisas P y Q se denotan como ΔX de modo que ΔX=X₂-X₁.
Observe que triangulo ΔX representa el cambio en el valor X₁ A X₂ y puede ser positivo o negativo, este cambio recibe el nombre de incremento de X. ahora obtenga la pendiente de la recta secante que pasa por ambos puntos.

m=y2-y1x2-x1

msec=fc+∆x-fc∆x

La esencia de este procedimiento radica en que se pueden obteneraproximaciones mas y mas precisas de la pendiente de la recta tomando puntos de la grafica cada vez mas próximos en el punto P en tangencias.

Definición de la derivada en una función.
La derivada de F(X) viene dado por:

f'(x)=lim∆x→0fc+∆x-fc∆x

Siempre que exista ese límite, ejemplo:
Encontrar la pendiente de la grafica de F(X)=2X-3, en el punto (2,1)

Al proceso de calcular la derivada deuna función se llama derivación. Una función es derivable en X si su derivada en X existe y derivable en un intervalo abierto (a, b), si es derivable en todos y cada uno de los puntos de ese intervalo.

NOTACIONES PARA DERIVAR.

f'x Dxy dydx df(x)dx y'

La notación se lee derivada de y con respecto a X y usando las notaciones de límite se puede escribir.dydx=lim∆x→0∆y∆x
=lim∆x→0fc+∆x-fc∆x
=f'(x)

Usando la definición formal de la derivada calcule F(X)=X³+2X

DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD.
La siguiente forma alternativa como límite de la derivada es útil al investigar la relación que existe entre la derivabilidad y la continuidad.
La derivada de f(c):
f'c==limx→cfc+∆x-fcx-c

Siempre que dicho límite exista.

Observe que la existenciade este límite en esta forma alternativa requiere que los limites unilaterales
f'c=limx→c-fc+∆x-fcx-c y f'c=limx→c+fc+∆x-fcx-c

Existan y sean iguales estos límites laterales se llaman laterales por la izquierda y por la derecha respectivamente. Se dice que F es derivable en un intervalo cerrado [a, b] si es derivable en (a, b) y existan en la derivable por la derecha en a y la derivada porla izquierda en b.
Si una función no es continua en X=C, no puede ser derivable en X=0 como por ejemplo la función parte entera o mayor entero F(X)= [X] no es continua en X=0 se comprueba que con solo observar:

Aunque es cierto que derivable implica continua, el reciproco no es cierto osea que continuidad no significa derivable, en otras palabras puede ocurrir que una función sea continua en...