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PENDULO DE TORSION
1. OBJETIVOS 1.1 Estudiar el movimiento armónico simple con desplazamiento angular. 1.2 Medir la constante elástica de torsión y el módulo de rigidez de un alambre metálico. 2. FUNDAMENTO TEORICO Considérese un alambre (cilindro sólido de la Fig..1(a)) fijo en su extremo superior y sometido a la acción de un torque deformador , paralelo al eje vertical que hace girar elextremo inferior un ángulo BAC =  o BOC = , (Fig. 1b). Si consideramos una porción anular cilíndrica interior del alambre, vemos que el par aplicado le produce una deformación cortante c = tan    rad, que depende de la rigidez del material con que está hecho el alambre. R A r

 L
O

L
O r dr df

F

F

df



B 

C

df

-df


(c) Anillo de espesor dr

(a)Cilindro sólido de radio R

(b) Porción cilíndrica de radio r

Figura 1 Deformación por torsión de un cilindro macizo En la Fig.1.(c) se muestra una porción anular (muy amplificada) del alambre que tiene un radio r y espesor dr, donde tomamos un cubo elemental sometido al esfuerzo de corte tal que, sus lados verticales se desplazan un ángulo . Este comportamiento se repite en todos los cuboselementales situados por encima y por debajo del cubo de referencia, dando como resultado un giro de la línea AB a la posición AC, bajo la acción del par de fuerzas f como se muestra en la Fig. 1(b). El arco descrito es: BC = L = r  De donde  = r /L (1) (2)

donde  y  se miden en radianes. Si la fuerza actuante en las caras superior e inferior al anillo es df y el área dS = 2  r dr, ladefinición de esfuerzo o tensión cortante nos da:

t =
y el módulo de rigidez (corte o cizalladura) es:

df df = dS 2  r dr
t 
df .L r.2r.dr

G=

que usando la Ec. (2)

G=

(3)

de donde la fuerza sobre la superficie del anillo es: df =

2  G  r 2 dr L

2
y el torque elemental que ejerce esta fuerza es: d = r df =

2  G  r 3 dr L

integrando para r desde 0 hasta Robtenemos el torque total sobre la sección:
R

=

 (2  G  r
0

3

/ L) dr = ½ (G  R4 /L )

que también puede escribirse en la forma:

 G R 4  =   2L     

(4)

En el experimento, R y L (radio y longitud del alambre) se mantendrán constantes, de modo que la cantidad entre paréntesis en la ecuación (4) es una constante que lo denotaremos con:

 G R 4  =   2L   
Por lo tanto, la Ec.(4) se puede escribir en la forma

(5)

=

(6)

Esta ecuación no es sino la expresión matemática de la ley de Hooke cuando la deformación es angular. En consecuencia,  es la constante elástica de torsión del alambre La reacción correspondiente al torque deformador de la ecuación (6) es el torque recuperador =- generado por las fuerzas de cohesiónintermolecular del alambre. Una forma experimental de medir  y G consiste en sujetar una masa m en el extremo inferior de un alambre como el de la Fig.2 y aplicarle un torque deformador girando la masa un ángulo . Al dejarlo libre, el torque recuperador produce en la masa un movimiento oscilatorio de rotación. La ecuación dinámica de estas oscilaciones se obtiene aplicando la segunda ley de Newton para larotación: (7)

 = I = I

d 2 =-   dt 2

(8) 

donde I es el momento de inercia del cuerpo oscilante respecto al eje de rotación paralelo al alambre. Esta ecuación puede escribirse en la forma



d 2 =dt 2

    I

(9) m

 

que es similar a la ecuación dinámica del MAS lineal. Por similitud entonces deducimos que la frecuencia angular del movimientooscilatorio rotante del disco es:

Figura 2 : péndulo de torsión

=

 I

(10)

y el periodo es:

T = 2

I 

(11)

3
Usando la Ec.(11) podemos hallar la constante elástica de torsión µ y luego usando la Ec. (5) el módulo de rigidez G del material del cual está hecho el alambre. Para lograr esto debemos medir las dimensiones del alambre, el período T y el momento de inercia I del...