Uso De Relaciones

USO DE RELACIONES.
 
PRODUCTO CARTESIANO
PARES ORDENADOS: intuitivamente un par ordenado (a,b) es un par de objetos en el cual el orden en el que estos se consideran debe ser: primero a y después b . Las letras a y b se llaman la primera y la segunda componentes, respectivamente, de la pareja ordenada.
Dos pares ordenados (a, b) y (c, d) son iguales si solo si
a = c y b = d
PRODUCTOCARTECIANO: dados dos conjuntos A y B se llama producto cartesiano (o conjunto producto) de A y B, al conjunto de todos los pares ordenados (a, b) de tal forma que la primera componente a pertenece al conjunto A y la segunda componente b es elemento del conjunto B. Este conjunto se denota por A × B y se lee “A producto cartesiano de B”
Simbólicamente
A × B = {(a, b) | a ? A ? b ? B}
Ejemplos
a) Si A= {a, b, c} ; B = {x, y}
A × B = = {(a, x), (a, y), (b, x), (b, y), (c, x), (c, y)}
Nótese que el conjunto tiene seis elementos
b) Si A = {1, 2, 3} ; B = {4, 5, 6}
A × B = = {(1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6)}
B × A = = {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (6, 1), (6, 2), (6, 2)}
Nótese que en este ejercicio cada conjunto tiene nueveelementos, y que A × B ? B × A
En general, si n(A) = p y n(B) = q entonces, n(A × B) = n(B × A) = pq
Además, el producto cartesiano No es conmutativo, es decir A x B ? B x A a menos que A = B o que uno de los conjuntos sea vacío.
Si A y B son conjuntos finitos su producto puede ser representado en el plano cartesiano colocando el conjunto A en el eje horizontal, y B en el eje vertical. A cada parordenado (a,b) le corresponde un punto del plano.
Por ejemplo, Si A = {a1, a2, a3, a4} y B = {b1, b2, b3} , el conjunto producto consta de 12 elementos o parejas, y en su representación gráfica deben aparecer 12 puntos que forman un red, así:
 

 
Otra forma de representar el producto A × B es mediante un diagrama de árbol.
Por ejemplo, si A = {1, 2 ,3} y B = {a, b}, la gráfica arborescentecorrespondiente a A × B, es:

Relacion binaria
Una relación (binaria) R de un conjunto X a un conjunto Y es un subconjunto del producto cartesiano X × Y. si (x, y) ? R escribimos xRy y decimos que x esta relacionado con y.
Una relación que es reflexiva, simétrica y transitiva en un conjunto X se llama relación de equivalencia sobre X.
Ejemplos
a) Sean los conjuntos X = {a, b, c, d} y Y = {1, 2, 3,4}, definir una relación R de X en Y y determinar el dominio de R y lel rango de R.
R = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}
El dominio se define por el conjunto {x ? X/(x, y) ? R para algún y ? Y}
dominio de R es el conjunto {a, b, c, d}
b) La relación R sobre X = {1, 2, 3, 4} esta definida por “(x, y) ? R si x = y“ es:
R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3,4), (4, 4)}
el dominio de R es el conjunto {1, 2, 3, 4}
el rango de R es el conjunto {1, 2, 3, 4}
se concluye que: el dominio y el rango son iguales porque la relación está definida sobre el mismo conjunto X.
La digráfica de la relación R es la siguiente:

 
Matrices de relaciones
Este tema lo encontramos en la página 132, sección 3.3. Se describirá brevemente como formar una matriz derelación y se realizara ejemplos. Una matriz es una manera conveniente de representar una relación R de X a Y. Se etiquetan los renglones con elementos de X (en algún orden arbitrario), y se etiquetan las columnas con elementos de Y (orden arbitrario). Luego el elemento en el renglón x y la columna y se hace igual a 1 si xRy, y 0 de otra manera. Esta matriz se llama matriz de la relación R.
Ejemplos:Formar la matriz de relación de los siguientes conjuntos:
a)
R = {(1, b), (1, d), (2, c), (3, c), (3, b), (4, a)}
Donde X = {1, 2, 3,4} y Y = {a, b, c, d}
Considerando los ordenes: 1, 2, 3,4 y a, b, c, d tenemos la matriz:
 

 
b)
X = {2, 3, 4} Y = {5, 6, 7, 8}
Considerando las ordenes: 2, 3, 4 y 5, 6, 7,8; definida por xRy si x divide a y

GRAFOS
Existen varios tipos de grafos:...