utilicemos las razones trigonométricas

UNIDAD 1: UTILICEMOS LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS.

Razones trigonométricas.

Un triangulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (de 90 grados: 90º).
En todo triángulo rectángulo, el lado mayor es la hipotenusa (c). Además, cada ángulo tiene un lado o cateto opuesto (enfrente) y uno adyacente (cercano). Para el ángulo θ mostrado, b es el lado opuesto; y a es el lado adyacente. Y paraβ, a es el lado opuesto; y b es el lado adyacente. Además, en todo triángulo la suma de los ángulos internos es 180º: 90º + θ + β = 180º. Y recordando a Pitágoras, se tiene que: a2 + b2 = c2
Las razones trigonométricas son 6: seno (Sen), coseno (Cos), tangente (Tan), cotangente (Cot), secante (Sec) y cosecante (Csc). Cada razón trigonométrica es la divisiónde un lado entre otro. Para el ángulo θ se tiene que:
Senθ = opuesto/hipotenusa = b/c Cosθ = adyacente/hipotenusa = a/c Cos = 1 / Sec
Tanθ = opuesto/adyacente = b/a Cotθ = adyacente/opuesto = a/b Cot = 1 / Tan
Secθ = hipotenusa/adyacente = c/a Cscθ = hipotenusa/opuesto = c/bCsc = 1 / Sen
Si tomamos el ángulo β, obtenemos:
Senβ = opuesto/hipotenusa = a/c Cosβ = adyacente/hipotenusa = b/c
Tanβ = opuesto/adyacente = a/b Cotβ = adyacente/opuesto = b/a
Secβ = hipotenusa/adyacente = c/b Cscβ = hipotenusa/opuesto = c/a5.2 Razones trigonométricas para ángulos de 30o, 45o y 60o.
Una razón trigonométrica sólo depende de la abertura del ángulo. Para el caso, el seno de 30º será siempre 0.5 sin importar las dimensiones del opuesto y de la hipotenusa. Partiendo de esto, calculemos las razones trigonométricas de 30º, 45º y 60º. Lo haremos a partir de un triángulo equilátero (aquel que tiene sustres lados iguales)


Altura


ℓ ℓ




ℓ/2 ℓ/2

Sen30º = opuesto/hipotenusa = (ℓ/2) / ℓ = ½ = 0.5
Cos30º = adyacente/hipotenusa = ℓ 3 = ℓ 3 = 3
2 . 2ℓ 2ℓ
Tan30º = opuesto/adyacente = (ℓ/2) / (ℓ√3 /2) = 1/√3
Cot30º = adyacente/opuesto = (ℓ√3 /2) / (ℓ/2) = √3 Cot = 1 / Tan
Sec30º = hipotenusa/adyacente = (ℓ) / (ℓ√3 /2) = 2/√3. Equivale a 2√3 /3 Sec = 1 / Cos
Csc30º = hipotenusa/opuesto = (ℓ) / (ℓ/2) = 2. Csc = 1 / Sen

Por un procesosemejante llegamos a que:

Sen60º = opuesto/hipotenusa = √3
2
Cos60º = adyacente/hipotenusa = 1/2.
Tan60º = opuesto/adyacente = √3
Cot60º = adyacente/opuesto = √3 /3
Sec60º = hipotenusa/adyacente = 2.
Csc60º = hipotenusa/opuesto = 2/√3. Equivale a 2√3 /3.

Para 45º construyamos untriángulo rectángulo con 45º.







ℓ ℓ√2





ℓ

Sen45º = opuesto/hipotenusa = ℓ/ ℓ√2 = 1/√2. Equivale a √2/2
Cos45º = adyacente/hipotenusa = ℓ/ ℓ√2 = 1/√2. Equivale a √2/2
Tan45º = opuesto/adyacente = ℓ/ℓ = 1
Cot45º = adyacente/opuesto = ℓ/ℓ = 1
Sec45º = hipotenusa/adyacente = ℓ√2 / ℓ = √2.Csc 45º = hipotenusa/opuesto = ℓ√2 /ℓ = 2.

Ejemplos. 1. Para el triángulo siguiente calcula las 6 razones trigonométricas para β.
2. Se sabe que sen Ω = 7/10, calcula las otras razones trigonométricas de Ω.




4 cm


3 cm

 Solución.
 Apliquemos Pitágoras para encontrar la...