Utilizacion Del Analisis De Fourier
Páginas: 11 (2611 palabras)
Publicado: 6 de mayo de 2012
INTRODUCCIÓN
El enfoque de este tema es la representación de señales utilizando senos y cosenos (en otras palabras, exponenciales complejas).
El estudio de señales y sistemas utilizando exponenciales complejas se denomina análisis de Fourier, en honor a Joseph Fourier (1768-1830) debido a su gran contribución en este campo.
Análisis de Fourier en tiempo discreto
Transformada deFourier en tiempo discreto (DTFT)
Serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS)
Transformada de Fourier Discreta (DFT)
Transformada Rápida de Fourier (FFT)
Enventanado y resolución espectral
TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO (DTFT)
Transformada de Fourier de una señal discreta
La DTFT describe el espectro de señales discretas. Se puede deducir a partir de la convolución discreta quese define como:
Si un sistema LTI tiene una señal de entrada x[n] armónica x[n] = exp(j2πfnTs) = exp(jwnTs), la respuesta y[n] es:
Siendo H(w) un autovalor del sistema que representa la respuesta en frecuencia se ha definido como H(w) la expresión:
Y representa la DTFT de la señal discreta h[n].
La función H(w) es periódica, debido a que h[k] son valoresdiscretos y su expresión es una serie de Fourier.
Representación mediante la DTFT
La DTFT permite representar el contenido en frecuencia, X(w), de una señal discreta x[n]:
Y su transformada inversa es:
Representación del par de DTFT:
Ejemplos:
Propiedades de la DTFT
La DTFT es periódica de periodo 2π:
Por tanto solo es necesarioevaluar el intervalo [0, 2π] o equivalentemente [-π, π]
Si x[n] es real su transformada DTFT verifica:
Es simétrica y basta calcularla en el intervalo [0, π].
Transformada de Fourier de señales discretas (DTFT)
Propiedades de la DTFT:
Transformada de Fourier de señales discretas (DTFT)
Dualidad entre las series de Fourier y la DTFT
Una señal periódica continua xp(t) setransforma en una función aperiódica y discreta que corresponde a los coeficientes espectrales XS[k] en el dominio de frecuencias de su serie de Fourier:
De una manera dual, se puede intercambiar tiempo y frecuencia
Donde F=1/Ts es el “periodo de Xp(f) en el dominio de frecuencia”.
En este caso una señal aperiódica discreta x[k] se corresponde con una transformadaperiódica continua X(f) y se obtiene mediante la DTFT.
Transformada Discreta de Fourier
El comportamiento dual entre las series de Fourier y la DTFT se resume en lo siguiente:
Con las series de Fourier se pasa de una señal x(t), temporal, continua y periódica (periodo T) y se representa por los coeficientes X [k], que como una función de la frecuencia, son valores aperiódicos y discretos con unadistancia entre dos valores consecutivos de f0=1/T.
La DTFT se aplica a una señal discreta en el tiempo x[n], con periodo de muestreo ts=1/fs y aperiódica y se obtiene una función X(f), que es continua como función de la frecuencia y periódica con periodo F=1/Ts.
Para realizar operaciones con un procesador digital se presentan los siguientes problemas:
Se necesita tratar señales continuasSe manejan series de datos de longitud infinita.
Un DSP sólo trabajar con un número finito de datos discretos
La solución pasa por conseguir discretizar las variables continuas y limitar el número de muestras en los dos dominios (temporal y frecuencial).
Se hace necesario definir la serie discreta de Fourier (DTFS) y la Transformada Discreta de Fourier (DFT).
SERIE DE FOURIER EN TIEMPODISCRETO (DTFS)
Señales periódicas en tiempo discreto: Series de Fourier
Si x(t) es periódica su desarrollo en serie de Fourier es:
Al igual que en tiempo continuo, una señal x[n] discreta y periódica puede representarse como una superposición de exponenciales complejas discretas con frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental.
Si la señal es periódica (x[n] =...
El enfoque de este tema es la representación de señales utilizando senos y cosenos (en otras palabras, exponenciales complejas).
El estudio de señales y sistemas utilizando exponenciales complejas se denomina análisis de Fourier, en honor a Joseph Fourier (1768-1830) debido a su gran contribución en este campo.
Análisis de Fourier en tiempo discreto
Transformada deFourier en tiempo discreto (DTFT)
Serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS)
Transformada de Fourier Discreta (DFT)
Transformada Rápida de Fourier (FFT)
Enventanado y resolución espectral
TRANSFORMADA DE FOURIER EN TIEMPO DISCRETO (DTFT)
Transformada de Fourier de una señal discreta
La DTFT describe el espectro de señales discretas. Se puede deducir a partir de la convolución discreta quese define como:
Si un sistema LTI tiene una señal de entrada x[n] armónica x[n] = exp(j2πfnTs) = exp(jwnTs), la respuesta y[n] es:
Siendo H(w) un autovalor del sistema que representa la respuesta en frecuencia se ha definido como H(w) la expresión:
Y representa la DTFT de la señal discreta h[n].
La función H(w) es periódica, debido a que h[k] son valoresdiscretos y su expresión es una serie de Fourier.
Representación mediante la DTFT
La DTFT permite representar el contenido en frecuencia, X(w), de una señal discreta x[n]:
Y su transformada inversa es:
Representación del par de DTFT:
Ejemplos:
Propiedades de la DTFT
La DTFT es periódica de periodo 2π:
Por tanto solo es necesarioevaluar el intervalo [0, 2π] o equivalentemente [-π, π]
Si x[n] es real su transformada DTFT verifica:
Es simétrica y basta calcularla en el intervalo [0, π].
Transformada de Fourier de señales discretas (DTFT)
Propiedades de la DTFT:
Transformada de Fourier de señales discretas (DTFT)
Dualidad entre las series de Fourier y la DTFT
Una señal periódica continua xp(t) setransforma en una función aperiódica y discreta que corresponde a los coeficientes espectrales XS[k] en el dominio de frecuencias de su serie de Fourier:
De una manera dual, se puede intercambiar tiempo y frecuencia
Donde F=1/Ts es el “periodo de Xp(f) en el dominio de frecuencia”.
En este caso una señal aperiódica discreta x[k] se corresponde con una transformadaperiódica continua X(f) y se obtiene mediante la DTFT.
Transformada Discreta de Fourier
El comportamiento dual entre las series de Fourier y la DTFT se resume en lo siguiente:
Con las series de Fourier se pasa de una señal x(t), temporal, continua y periódica (periodo T) y se representa por los coeficientes X [k], que como una función de la frecuencia, son valores aperiódicos y discretos con unadistancia entre dos valores consecutivos de f0=1/T.
La DTFT se aplica a una señal discreta en el tiempo x[n], con periodo de muestreo ts=1/fs y aperiódica y se obtiene una función X(f), que es continua como función de la frecuencia y periódica con periodo F=1/Ts.
Para realizar operaciones con un procesador digital se presentan los siguientes problemas:
Se necesita tratar señales continuasSe manejan series de datos de longitud infinita.
Un DSP sólo trabajar con un número finito de datos discretos
La solución pasa por conseguir discretizar las variables continuas y limitar el número de muestras en los dos dominios (temporal y frecuencial).
Se hace necesario definir la serie discreta de Fourier (DTFS) y la Transformada Discreta de Fourier (DFT).
SERIE DE FOURIER EN TIEMPODISCRETO (DTFS)
Señales periódicas en tiempo discreto: Series de Fourier
Si x(t) es periódica su desarrollo en serie de Fourier es:
Al igual que en tiempo continuo, una señal x[n] discreta y periódica puede representarse como una superposición de exponenciales complejas discretas con frecuencias múltiplos de la frecuencia fundamental.
Si la señal es periódica (x[n] =...
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