VAlor Absoluto
Páginas: 2 (332 palabras)
Publicado: 15 de junio de 2014
Demostracion De valor absoluto
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de unnúmero real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
Valor absoluto de un número real
Formalmente, elvalor absoluto o módulo de todo número real a\, está definido por:2
|a| = \left \{ \begin{array}{rcl} a, & \mbox{si} & a \ge 0 \\ -a, & \mbox{si} & a < 0 \end{array} \right .
Pordefinición, el valor absoluto de a\, siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real a\, es siempre positivo o cero, pero nuncanegativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como unageneralización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real.
La función valor absoluto una función continua definida por trozos.
Propiedadesfundamentales
|a| \ge 0 No negatividad
|a| = 0 \iff a = 0 Definición positiva
|ab| = |a| |b|\, Propiedad multiplicativa
|a+b| \le |a| + |b| Desigualdad triangular (Véase tambiénPropiedad aditiva)
Otras propiedades
|-a| = |a|\, Simetría
|a-b| = 0 \iff a = b Identidad de indiscernibles
|a-b| \le |a-c| + |c-b| Desigualdad triangular
|a-b| \ge ||a| - |b||(equivalente a la propiedad aditiva)
\left| \frac {a}{b}\right| = \frac {|a|}{|b|} (si \ b \ne 0) Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)
Otras dos útilesinecuaciones son:
|a| \le b \iff -b \le a \le b
|a| \ge b \iff a \le -b \vee b \le a
Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:...
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de unnúmero real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
Valor absoluto de un número real
Formalmente, elvalor absoluto o módulo de todo número real a\, está definido por:2
|a| = \left \{ \begin{array}{rcl} a, & \mbox{si} & a \ge 0 \\ -a, & \mbox{si} & a < 0 \end{array} \right .
Pordefinición, el valor absoluto de a\, siempre será mayor o igual que cero y nunca negativo.
Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real a\, es siempre positivo o cero, pero nuncanegativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas se puede ver como unageneralización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo largo de la recta numérica real.
La función valor absoluto una función continua definida por trozos.
Propiedadesfundamentales
|a| \ge 0 No negatividad
|a| = 0 \iff a = 0 Definición positiva
|ab| = |a| |b|\, Propiedad multiplicativa
|a+b| \le |a| + |b| Desigualdad triangular (Véase tambiénPropiedad aditiva)
Otras propiedades
|-a| = |a|\, Simetría
|a-b| = 0 \iff a = b Identidad de indiscernibles
|a-b| \le |a-c| + |c-b| Desigualdad triangular
|a-b| \ge ||a| - |b||(equivalente a la propiedad aditiva)
\left| \frac {a}{b}\right| = \frac {|a|}{|b|} (si \ b \ne 0) Preservación de la división (equivalente a la propiedad multiplicativa)
Otras dos útilesinecuaciones son:
|a| \le b \iff -b \le a \le b
|a| \ge b \iff a \le -b \vee b \le a
Estas últimas son de gran utilidad para la resolución de inecuaciones, como por ejemplo:...
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