Valores y vectores característicos

CONTENIDO

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VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS.

6.1 Definición de valores y vectores característicos de una matriz cuadrada. 6.2 Polinomio y ecuación característica. 6.3 Determinación de los valores y vectores característicos de una matriz cuadrada. 6.4 Diagonalización de matrices, potencias y raíces de matrices. 6.5 Diagonalización de matrices simétricas, Diagonalización ortogonal.6.1 DEFINICIÓN DE VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS DE UNA MATRIZ CUADRADA El escalar  se llama valor característico de la matriz A, y e, vector x diferente de cero, se llama vector característico de A correspondiente a  . Los términos valor característico y vector característico corresponden a los términos eingenvalor y eingenvector, derivados del termino alemán Eigenwert cuyo significado es“propio valor” o “valor propio”. Sea A una matriz de nxn. El escalar  se denomina valor característico de A, si existe un vector x  0 tal que, la formula Ax  x El vector x se llama valor característico de A, correspondiente a  . Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo K y f : V  V una aplicación lineal. Se dice que un escalar   K es un autovalor o valor propio de f siexiste un vector   V , u  0V tal que f ( )   Al vector  se le denomina autovector o vector propio de f asociado al autovalor  . Nota 1. El autovector  asociado a un autovalor  no es único, a que si f ( )   , entonces para todo   K de verifica que f ( ) y, por lo tanto, u es también un vector propio de f asociado a  . 2. Un vector   V ,  0V no puede ser autovector asociado ade autovalores de f diferentes. En efecto, si existen  ,   K tales que f ( )   f ( )   entonces f ( )  f ( )  0v      y, en consecuencia,    pues   oV . Autovalores y autovectores para matrices Sea f : V  V una aplicación lineal con matriz asociada A  M n respecto de la base BV   1 ,..., n  del K-espacio vectorial V, entonces se verifica que una condición necesaria y suficiente para que   K sea autovalor de f con autovector  , es que Ax  x n donde x  K son las coordenadas de  respecto de BV . Si V  K n con K=R ó K=C y BV es la base canónica de V entonces f (u )    A  

Propiedades de los autovalores Sean A  M m dos matrices cuyos autovalores son los escalares 1 ,  2 ,...,  n y 1 ,  2 ,...,  m , respectivamente. Estos autovalorespueden ser reales o complejos, iguales o distintos. Se verifica que: i. Los autovalores de A’ coinciden con los de la matriz A. ii. El numero de autovalores nulos de una matriz A de rango r  n es mayor o igual que nr.
n

iii.

A   i
i 1
n

iv. tr  A  i 1 i v. Los autovalores de la matriz A para cualquier   R (ó C)   0 son  i , con i  1,..., n . vi. Si m  n entonceslos autovalores de las matrices AB y BA son los mismos. vii. La matriz A  B tiene como autovalores los mn escalares i  i con i  1,..., n j  1,..., m 1 viii. Si A es no singular, entonces los autovalores de A-1 son con i  1,..., n i ix. Para cualquier numero natural k no nulo, los autovalores de Ak son k , siendo i i  1,..., n . x. Si A es una matriz de orden n con elementos pertenecientesa R tal que sus autovalores i , i  1,..., n son reales, entonces para todo p, numero natural impar, los
1

1

autovalores de A p son ip , i  1,..., n . Si p es par, esta propiedad se verifica siempre que i  0, i  1,..., n xi. Si i  1, i  1,..., n , entonces I n  A es invertible, siendo 1  i sus autovalores y 1 los de su inversa. 1  i

Propiedades de los autovectores Sea
A M n , a ij  K , i, j  1,..., n , una matriz de orden n cuyos autovalores son

1 ,...,  n  K

son

multiplicidades algebraicas

m1 ,..., mr ,

respectivamente,

siendo



r i 1

mi  n . Se verifica que:

i. Para cada i  1,..., r , el conjunto V ( i )  u  K n : Au  i u es un subespacio vectorial de K n tal que dimV i   mi . Además, si mi0  1 entonces...