Variable aleatoria concreta

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VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

Se dice que una Variable aleatoria Discreta o Discontinua X, tiene un conjunto definido de valores posibles x1,x2,x3,…..xn con probabilidades respectivas p1,p2,p3,…..pn., Es decir que sólo puede tomar ciertos valores dentro de un campo de variación dado. Como X ha de tomar uno de los valores de este conjunto, entonces p1 + p2 +…+ pn=1. En general, una variablealeatoria discreta X representa los resultados de un espacio muestral en forma tal que por P(X = x)se entenderá la probabilidad de que X tome el valor de x. De esta forma, al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización x de la variable aleatoria X. Esta función recibe el nombre de función de laprobabilidad. Ejemplo.- Sea el experimento aleatorio consistente en lanzar una moneda al aire. Los sucesos elementales del experimento, «que salga cara», «que salga cruz», no vienen representados por los números, por lo que casa suceso elemental se le hace corresponder un número real. Así al suceso elemental «que salga cara» se le hace corresponder el número “1” y al suceso elemental «que salga cruz» se lehace corresponder el número “2”. La variable aleatoria será: X = (1,2).
Se trata de una variable aleatoria discontinua o discreta, ya que únicamente puede adoptar los valores 1 y 2.

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Es aquella que puede tomar infinitos valores dentro de un intervalo de la recta real.

En el caso de variables aleatorias continuas no tiene sentido plantearse probabilidades deresultados aislados. La probabilidad de valores puntuales es cero.  

El interés de estas probabilidades está en conocer la probabilidad correspondiente a un intervalo.  

Dicha probabilidad se conoce mediante una curva llamada función de densidad y suponiendo que bajo dicha curva hay un área de una unidad.

 Conociendo esta curva, basta calcular el área correspondiente para conocer laprobabilidad de un intervalo cualquiera.  

CARACTERIZACION DE LAS VARIABLES ALEATORIAS

ESPERANZA MATEMATICA:

En estadística la esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria X, es el número [pic]que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.
Cuando la variable aleatoria es discreta es igual a la suma de laprobabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento aleatorio cuando la probabilidad de cada suceso se mantiene constante y el experimento se repite un elevado número de veces. Cabe decir que el valor que toma la esperanza matemática en algunos casos puede no ser "esperado"en el sentido más general de la palabra - el valor de la esperanza puede ser improbable o incluso imposible.
Por ejemplo, el valor esperado cuando tiramos un dado equilibrado de 6 caras es 3,5. Podemos hacer el cálculo

[pic]

y cabe destacar que 3,5 no es un valor posible al rodar el dado. En este caso, en el que todos los sucesos son de igual probabilidad, la esperanza es igual a la mediaaritmética.
Una aplicación común de la esperanza matemática es en las apuestas o los juegos de azar. Por ejemplo, la ruleta americana tiene 38 casillas equiprobables. La ganancia para acertar una apuesta a un solo número paga de 35 a 1 (es decir, cobramos 35 veces lo que hemos apostado y recuperamos la apuesta, así que recibimos 36 veces lo que hemos apostado). Por tanto, considerando los 38posibles resultados, la esperanza matemática del beneficio para apostar a un solo número es:

[pic]

Que es -0,0526 aproximadamente. Por lo tanto uno esperaría, en media, perder unos 5 céntimos por cada euro que apuesta, y el valor esperado para apostar 1 euro son 0.9474 euros. En el mundo de las apuestas, un juego donde el beneficio esperado es cero (no ganamos ni perdemos) se llama un "juego...
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