Variable Aleatoria

CAPITULO III
VARIABLES ALEATORIAS.
DEFINICION.- UNA VARIABLE ALEATORIA ES UNA FUNCION DE LOS VALORES DEL ESPACIO MUESTRAL. ESTO ES, EL DOMINIO DE DEFINICION DE UNA VARIABLE ALEATORIA ES UN ESPACIO MUESTRAL, Y SU RANGO O RECORRIDO ES UN CONJUNTO DE NUMEROS REALES. LAS VARIABLES ALEATORIAS LAS PODEMOS REPRESENTAR: X (w), DONDE w REPRESENTA UN ELEMENTO GENERICO DEL ESPACIO MUESTRAL, O SIMPLEMENTEx. EJEMPLO : EXPERIMENTO : SE TIRA UN PAR DE DADOS RESULTADO : LA SUMA DE LAS CARAS EL ESPACIO MUESTRAL ES : S = { ( x1, x2 ) x1 = 1, 2, ……, 6 ; x2 = 1, 2, ….,6 }

SEA LA VARIABLE ALEATORIA x, QUE REPRESENTA LA SUMA DE LOS NUMEROS QUE APARECEN : x = x1 + x2 ENTONCES EL RANGO DE X ES : Rx = { 2, 3, 4, ….., 12 } x 2 3 4 …… 12 DISCRETAS VARIABLES ALEATORIAS v.a. CONTINUAS

UNA VARIABLE ALEATORIA(v.a.) SE LLAMA DISCRETA SI SU RECORRIDO ES UN CONJUNTO DE NUMEROS REALES, O BIEN SI SU DOMINIO DE DEFINICION ES DISCRETO.

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APUNTES DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA ING. GUILLERMO CASAR MARCOS
UNA VARIABLE ALEATORIA (v.a.) SE LLAMA CONTINUA, SI ESTA DEFINIDA PARA TODOS LOS VALORES REALES DENTRO DE UN INTERVALO. AL RECORRIDO DE UNA VARIABLE ALEATORIA (v.a.) TAMBIEN SE LE CONOCE O LLAMAESPECTRO. DEFINICION .- SE LLAMA DISTRIBUCION DE UNA VARIABLE ALEATORIA (v.a.) A UNA ASIGNACION DE POBABILIDADES DE SU ESPECTRO. SI SE CONOCE LA PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA (v.a.), ENTONCES AL CONJUNTO DE PAREJAS (xi, Pi ), DONDE Xi ES EL iÉSIMO ELEMENTO DEL ESPECTRO Y Pi, SU PROBABILIDAD, SE LE LLAMA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE LA VARIABLE ALEATORIA. EN EL EJEMPLO ANTERIOR : EL ESPECTRODE x ES : ESPECTRO = { 2, 3, 4, …..,12 } P ( x = 2 ) =1/36 P ( x = 3 ) = 2/36 ( 2, 1/36 ) [ LA PAREJA ( 1,1 ) ] ( 3, 2/36) [ LAS PAREJAS ( 1,2) Y (2,1)] • • • DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE v.a. ; ,

FUNCION DE PROBABILIDAD.- LA FUNCION DE PROBABILIDAD DE LA VARIABLE ALEATORIA (v.a.) DISCRETA x, SE REPRESENTA : P(x) Y SE DEFINE : P ( x ) = P ( X (w) = x ) DONDE P( X(w) = x ) ES LA PROBABILIDADDE LOS ELEMENTOS DEL ESPECTRO. CONTINUANDO CON EL EJEMPLO ANTERIOR: P ( x = 4 ) = 3/36 P ( x = 5 ) = 4/36 P ( x = 6 ) = 5/36 P ( x = 7 ) = 6/36 P ( x = 8 ) = 5/36 P ( x = 9 ) = 4/36 P ( x = 10) = 3/36 P ( x = 11 ) = 2/36 P ( x = 12 ) = 1/36

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∑P(x)=1 P(x)>O ;  x LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD LA PODEMOS REPRESENTAR: A ) ENFORMA TABULAR : xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P ( xi ) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

B ) GRAFICAMENTE :

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C) POR MEDIO DE LA FUNCION DE PROBABILIDAD DE X : x–1 ; 36 P(x)= 13 – x ; 36 EJEMPLO : x = 8, 9, 10, 11, 12 x = 2, 3, 4, 5, 6, 7

5 ROJAS 4 BLANCAS 2 NEGRAS SE EXTRAEN 3 BOLAS SUCESIVAMENTE YSIN REMPLAZO. SI LA V.A. X REPRESENTA EL NUMERO DE BOLAS ROJAS QUE SE EXTRAEN. DETERMINAR LA DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD. ESPECTRO = { 0, 1, 2, 3 } P ( x = 0 ) = P (Ā1 Ā2 Ā3 ) = (6/11) (5/10) (4/9) = 0.121 P ( x = 1 ) = P ( A1 Ā2 Ā3 ) + P ( Ā1 A2 Ā3 ) + P ( Ā1 Ā2 A3 ) = = (5/11) (6/10) (5/9) + (6/11) (5/10) (5/9) + (6/11) (5/10) (5/9) = 0.455 P ( x = 2 ) = P(A1 A2 Ā3) + P(A1 Ā 2 A3) + P(Ā1 A2A3) = = (5/11)(4/10)(6/9) + (5/11)(6/10)(4/9) + (6/11)(5/10)(4/9) = 0.3636364 P( x = 3 ) = P(A1 A2 A3) = (5/11)(4/10)(3/9) = 0.0606061 An: SALE LA BOLA ROJA EN LA N-ESIMA EXTRACCION.

Xi 0 1 2 3

P ( Xi ) 0.121 0.455 0.364 0.061

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SI X ES UNA VARIABLE ALEATORIA (V.A.) CONTINUA a ≤ x ≤ b ENTONCES. LAFUNCION DE DENSIDAD DEPROBABILIDAD SE REPRESENTA: f(x) Y SE DETERMINA DE TAL MANERA QUE P(x1 ≤ x ≤ x2) SEA IGUAL AL AREA BAJO LA CURVA QUE DEFINE f(x) ENTRE x1 Y x2:

ESTO ES:
x2

P( x1 ≤ x ≤ x2 )=

x1



f(x) dx

f(x) ≥ 0

;  x

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
a

b

f(x) dx = 1

EJEMPLO.- DEMOSTRAR QUE f(x) = 3x2 ES UNA FUNCION DE DENSIDAD DE...