Variable compleja

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Notas de Variable Compleja

Leonardo Solanilla
Digitado por Javier G. Rivera G.

Universidad del Tolima Facultad de Ciencias ´ Programa de Matematicas con ´nfasis en Estad´ e ıstica ´ Ibague, junio de 2010

Resumen. dfghj

´ Indice general
1. N´meros Complejos u 1.1. Nociones de partida . . . 1.2. Representaci´n gr´fica . o a 1.3. Funciones f : C → C . . 1.4. Multiplicaci´n Compleja o8 8 10 11 12 16 16 19 21 21 23 24 27 27 28 31 31 33 37 38 42 42 44

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2. Topolog´ C ıa 2.1. Regiones y Funciones .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Limites y Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Diferenciabilidad C 3.1. Diferenciaci´n Compleja . . . . o 3.2. Ecuaciones de Cauchy-Riemann 3.3. Ejercicios Resueltos . . . . . . . 3.4. Funciones Importantes . . . . . 3.4.1. Exponencial . . . . . . . 3.4.2. Trigonom´tricas . . . . . e 3.4.3. Hiperb´licas . .. . . . . o 3.4.4. An´lisis de ez . . . . . . a 3.4.5. Logar´ ıtmica . . . . . . . 3.4.6. Potencia . . . . . . . . . 3.5. Funciones Arm´nicas . . . . . . o

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4. Integral Compleja 4.1. Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 4.2. Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

´ INDICE GENERAL 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. Mas propiedades de la integral . . . Acercamiento al teorema de Cauchy Teorema Integral de Cauchy . . . . F´rmula Integral de Cauchy . . . . o Consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iv 46 49 52 55 60

´ Indice de figuras
1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. 1.6. . . . . . . . Traslaci´n . . . . . . . . . . o Conjugaci´n . . . . . . . . . o arg α = θ =Argumento de α . Ra´ ıces cubicas de z = i . . . . Ra´ ıces cuadradas de z = −4 .
Plano Complejo

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10 11 11 12 15 15 16 17 18 32 34 35 42 4347 47

2.1. Linea Poligonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Conjunto conexo y disconexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Proyecci´n Estereogr´fica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a 3.1. Gr´fica ez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 3.2. Transformaci´n del rect´ngulo con ez . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . o a 3.3. Transformaci´n del log z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.1. 4.2. 4.3. 4.4.
Curva ζ : [a, b] → C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Invarianza respecto a la parametrizaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o Posibilidades de δ(τ ) = t

Tipos de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
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