Variable compleja

Variable compleja

1 Algebra de los números complejos
La teoría de las funciones complejas es uno de los campos de la matemática más interesantes y tal vez una de las herramientas más útiles en muchas aplicaciones. El presente tema se dividirá en tres partes, la primera comprende la teoría de los números complejos y las funciones de variable compleja, luego algunos elementos básicos de seriesy sucesiones de números complejos, para finalizar con las expansiones de series de Taylor y Laurent y los teoremas integrales.

1.1

Números complejos
C

1-1 Definición: El conjunto de números complejos C se define como

:= z = x + iy jx y 2 R i2 = ;1

(1)

Con esta definición el álgebra de los números complejos (suma y producto) se sigue del álgebra de los números reales, así

z1 + z2= x1 + iy1 + x2 + iy2 = x1 + x2 + i(y1 + y2 ) (2) z1 z2 z1 z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2 ) = x1 x2 + ix1 y2 + iy1 x2 + i2 y1 y2 = x1 x2 ; y1 y2 + i(x1 y2 + x2 y1 )
Otra notación para los números complejos surge por el hecho que un número complejo z está determinado por dos números reales x y y así se puede identificar el conjunto C con R2 y un álgebra definida por las anteriores ecuaciones (2). Asípodemos escribir un número complejo y su álgebra de la siguiente forma:

z = (x y ) (3) z1 + z2 = (x1 + x2 y1 + y2 ) z1 z2 = (x1 x2 ; y1y2 x1 y2 + x2 y1 ) A la primera componente del número complejo z se le llama la parte real y a la
segunda la parte imaginaria, i.e.,

x = Re z
1

y = Im z

(4) (5)

Otra operación fundamental en números complejos es la conjugación, definida por:

z = x +iy =) z = x ; iy

entonces,

zz = x2 + y2 2 R
p p jz j = 2 zz = 2 (Re z )2 + (Im z )2

Así, el producto de un número complejo por su conjugado da un real, el cual conduce a la llama norma de z , definida por (6)

Otra representación útil de los números complejos surge de la representación en coordenadas polares de R2 , pues

; = (x y) = (r cos r sin ) ! r
con

(7)

r = x2 + y2 Así,para un número complejo z tenemos

p

y tan = x

(8)

z = ( cos sin ) z = jz j tan = Im z Re z1 z2 = ( 1 cos 1 1 sin 1 )( 2 cos 2 2 sin 2 )

(9)

Con esta representación el producto de los números complejos se simplifica, pues

= ( 1 2 cos 1 cos 2 ; sin 1 sin 2 ] 1 2 cos 1 sin 2 + cos 2 sin 1 ] = ( 1 2 cos( 1 + 2 ) 1 2 sin( 1 + 2 ))

(10)

Para dividir dos números complejos seutiliza el conjugado,

z1 = z1z2 = 1 z z z2 z2z2 jz2j2 1 2

(11)

= ( 1= 2 cos( 1 ; 2 ) 1= 2 sin( 1 ; 2 ))

El ángulo se le llama el argumento de z , y para ; < se le llama el valor principal. Otra representación muy útil surge de la relación entre las funciones trigonométricas y la función exponencial., la cual se puede establecer si escribimos la expanción en serie de Taylos para estasfunciones:

1 cos x = 1 ; 2! x2 + 1 sin x = x + 3! x3 ;
2

1 ex = 1 + x + 2! x2 +

(12)

entonces tenemos

1 eix = 1 + ix + 2! (ix)2 + = cos x + i sin x
Así, la representación de Moevre de un número complejo toma la forma

(13)

z = ei z1 z2 = z =
i( + ) 1 2e 1 2

(14)

con y definidos en la representación polar. Con esta nueva representación el producto y el complejo conjugadotoman la forma simple

e;i

(15)

y nos permite obtener las raices de un número complejo. El teorema fundamental del álgebra establece que todo polinomio de grado n posee n raices, teniendo en cuenta que las raices pueden ser iguales reales o complejas. Así la raiz n-ésima de un numero complejo debe tener n valores. Notemos que dentro de los complejos los reales son un caso particular, i.e.,son complejos con la parte imaginaria igual a cero. Entonces, dado z = ei la raiz n-ésima está dada por

zk = 1=n ei( +2 k)=n

k = 0 1 2 ::: n ; 1

(16)

1.1.1 Problemas 1.- Escribir los siguientes números complejos en notación polar y exponencial: i.- 1 ii.- ;1 iii.- i iv.- ;i v.- 1 + i vi.- 1 ; i p p p p 2.- Realizar las siguientes operaciones: z1 z2 , z1 =z2 , z1 , 2 z1 , 3 z2 , 4 z1...