Variable compleja

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Actividad 5
Trabajo Individual Evaluable

Astrid Martínez C. 1036622579

Curso: Matemáticas Especiales Código: IDT-502 Grupo: 01 Profesor: Luis Ordóñez Fecha: 11 de octubre de 2008

Universidad de Antioquia Facultad de Ingeniería Ingeniería de Telecomunicaciones

1

Tarea No. 4 de Matemáticas Especiales
1.1 Ejercicio 1
z , es analítica en los complejos con Re( z ) > 0 Re( z )Determine si la función f ( z ) =

Se sabe que f (z ) es continua para todo Re( z ) > 0 , además

z = ( x + jy ) (1)
∂u ∂v = ∂x ∂y

f ( z ) = u ( x, y ) + jv( x, y ) (2)
∂u ∂v =− ∂y ∂x

(3)

(4)

Reemplazando (1) en f (z ) y aplicando propiedades operativas de los números complejos, se tiene que

f ( x, y ) =

(x + jy ) = 1 + j§ y · (5) ¨ ¸
x ©x¹

Por propiedad de igualdad en losnúmeros complejos entre (2) y (5) se llega a

u ( x, y ) = 1 (6)

§ y· v ( x, y ) = ¨ ¸ (7 ) © x¹

Se sabe que u ( x, y ) es una función continua ya que es un polinomio y v( x, y ) también es continua para Re( z ) > 0 . Reemplazando (6) y (7) en (3) y (4) y operando, se obtiene que

∂ (1) = 0 ∂x ∂ (1) = 0 ∂y
Se observa que dominio dado.

(8)

∂ § y· 1 ¨ ¸= ∂y © x ¹ x − ∂ § y· −2 ¨ ¸= − yx ∂x © x ¹

(9) (11)

(10)

z ∂u ∂v ∂u ∂v ≠ y ≠ − , por lo cual f ( z ) = no es analítica en el ∂x Re(z ) ∂x ∂y ∂y

1.2

Ejercicio 2

Demostrar las siguientes propiedades

1.2.1

e z = e w si y solo si z = w + 2nπ j para algún entero n

De acuerdo a los datos dados se puede comprobar que

e z = e w+2 nπj = e w → e we 2 nπj = e w → e w [cos(2nπ ) + i sin (2nπ )] = e w
Deacuerdo a la propiedad de igualdad de los números complejos, se tiene que

e w cos(2nπ ) = e w → e w ≠ 0 e w sin (2nπ ) = 0 → sin (2nπ ) = 0

(1)

De (1) se deduce que se deben cumplir cos(2nπ ) = 1 y sin (2nπ ) = 0 . Estas dos se cumplen para cualquier n entero.

1.2.2

e z = 1 si y solo si z = 2nπ j , para algún entero n

De acuerdo a los datos dados y haciendo z = x + jy se puedecomprobar que

e z = 1 → e x+ jy = 1 → e x e jy = 1 → e x [cos( y ) + i sin ( y )] = 1
De acuerdo a la propiedad de igualdad de los números complejos, se tiene que

e x cos( y ) = 1 → e x ≠ 0 e x sin ( y ) = 0 → sin (2nπ ) = 0

(1)

De (1) se deduce que se deben cumplir cos(2nπ ) = 1 , e x = 1 y sin (2nπ ) = 0 . Por lo tanto, x = 0 y y = 2nπ para que se cumplan las condiciones anteriores.Finalmente, z = x + jy = 0 + jy → z = 2nπj hace que e z = 1 para cualquier n entero.

1.3

Ejercicio 3

Escriba los siguientes números complejos en forma exponencial.

1.3.1
Sea

w = ª( −1 − 1 j )3 (1 + j )2 º ¬ ¼

102

Actividad_No5_Mat. Especiales - AstridMartínez

2

z1 = −1 − 1 j
Entonces

z2 = 1 + j

z1 = (− 1 − 1 j )
3

3

z2 = (1 + j )
2

2

Además

z1 =2

z2 = 2

θ1 = tan −1 ¨

3π § −1· ¸=− 4 © −1¹

θ 2 = tan −1 ¨ ¸ =

§1· ©1¹

π
4

Se sabe que

z1 1 z 2 2 = z1 1 z2 2 e j (θ1 +θ2 )
n n n n

Operando en la anterior expresión se llega a
§ π· ª j¨ − ¸ º w = «4 2 e © 2 ¹ » « » ¬ ¼
102

Por lo tanto,

( )

w = z1 z 2

(

3

2 102

)

ª =« 2 « ¬

( ) ( 2) e
3 2

§ 3π π · j¨ − + ¸ © 4 4¹

º » » ¼

1021.3.2

w = ª( −1 − 1 j )3 /(1 + j )2 º ¬ ¼

102

Teniendo en cuenta los resultados del punto anterior, se obtiene: Se sabe que
n z1 1 j (θ1+θ2 ) z1 1 = n2 e n z2 2 z2 n

Operando en la anterior expresión se llega a
§ π· ª j¨ − ¸ º w = « 2 e © 2 ¹» « » ¬ ¼ 102

Por lo tanto,

( )

§ z13 · w=¨ 2¸ ¨z ¸ © 2 ¹

102

ª =« « ¬

( 2) e ( 2)
3 2

§ 3π π · j¨ − + ¸ © 4 4¹

º » » ¼102

Actividad_No5_Mat. Especiales - AstridMartínez

3

1.4
Evaluar

Ejercicio 10

1.4.1

z = sen (cos(2 j ))

Sabiendo que

cos( z ) = cos( x ) cosh ( y ) − j sin ( x )sinh ( y )

cosh ( z ) =

e z + e− z 2

Y aplicando propiedades básicas de los números complejos, se obtiene que

cosh (2) =

e 2 + e −2 = 3.7621956 2

cos(2 j ) = cos(0) cosh (2) − j sin (0)sinh...
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