Variables aleatorias

Tema 9: Variables Aleatorias

● UNA VARIABLE ALEATORIA ES UNA VARIABLE QUE TOMA VALORES NUMÉRICOS DETERMINADOS POR EL RESULTADO DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO. NO HAY QUE CONFUNDIR LA VARIABLE ALEATORIA CON SUS POSIBLES VALORES. EJEMPLOS:
- nº de caras al lanzar 6 veces una moneda (valores: 0, 1, 2…)
- nº de llamadas que recibe un teléfono en una hora
- tiempo que esperan losclientes para pagar en un supermercado…

● Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas:
- Discretas: el conjunto de posibles valores es numerable. Suelen estar asociadas a experimentos en que se mide el número de veces que sucede algo.
- Continuas: el conjunto de posibles valores es no numerable. Puede tomar todos los valores de un intervalo. Son el resultado de medir.Ejemplo: Ejercicio 15.2 de Peña y Romo
Clasificar como discretas o continuas las siguientes variables aleatorias:
a) nº de páginas de un libro → discreta
b) tiempo que tarda en fundirse una bombilla → continua
c) nº de preguntas en una clase de una hora → discreta
d) cantidad de agua consumida en un mes → continua

En la práctica se consideran discretas aquellas variables paralas que merece la pena asignar probabilidades a todos los posibles sucesos elementales.

Distribución de una variable aleatoria

● Sea x una variable aleatoria discreta. Su distribución viene dada por los valores que puede tomar, x1, x2, x3, …, xk, y las probabilidades de que aparezcan p1, p2, p3, …, pk. Estas cantidades [pic] reciben el nombre de función de probabilidad o función de masa.Ejemplo:
Variable aleatoria x=nº de caras al lanzar tres veces una
moneda
Posibles valores de x: 0, 1, 2 y 3
Lanzar 3 veces moneda:
E={CCC,CCX,CXC,XCC,XXC,XCX,CXX,XXX}
La variable aleatoria x:
- Toma valor 0 cuando ocurre el suceso {XXX}
- Toma valor 1 cuando ocurre el suceso {XXC,XCX,CXX}
- Toma valor 2 cuando {CCX,CXC,XCC}
- Toma valor 3 cuando {CCC}La función de probabilidad es:
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Función de probabilidad de x:
[pic]

¿Cuál será la probabilidad de que salgan al menos dos caras?

[pic]
¿y la probabilidad de que el número de caras esté entre 1 y 2?

[pic]

● La probabilidad de que una variable aleatoria x tome un valor entre dos cantidades a y b será:

[pic]

● Lafunción de probabilidad verifica que:

- [pic]

- [pic]

● La función de distribución o de probabilidad acumulada representa en cada punto x0 la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual que dicho punto, es decir, [pic].

Ejemplo: nº caras al lanzar tres veces una moneda

[pic]
[pic]
[pic]
[pic]

Función de distribución de x
[pic]

● Sea x unavariable aleatoria continua. Si queremos conocer su distribución de probabilidad no nos vale la función de probabilidad empleada con las discretas (cada valor con su probabilidad asociada) porque toma muchos valores. La probabilidad asociada a cada valor es prácticamente nula (la función de distribución es continua).

● Emplearemos la función de densidad. Se interpreta de forma parecida alhistograma. Expresa la “densidad” o concentración de probabilidad en cada zona. Expresa las probabilidades por áreas. Sus valores más altos corresponden a zonas en las que es más probable que aparezcan resultados del experimento aleatorio.

Ver Figuras 15.5 y 15.6 de Peña y Romo

Media o esperanza de una variable aleatoria

● La media o esperanza de una variable aleatoria discreta será:[pic]
Ejemplo: Ejercicio 15.5 de Peña y Romo

x=resultado de lanzar un dado
La distribución de probabilidad de x será:
[pic]
[pic]
………………
[pic]
El valor esperado de x será:
[pic]

● La idea de media o esperanza de una variable aleatoria continua es equivalente pero su cálculo es algo más complicado porque requiere emplear el concepto de integral.

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