variables aleatorias

Variables aleatorias y su clasificación.

En probabilidad y estadística, una variable aleatoria o variable estocástica es una variable estadística cuyos valores se obtienen de mediciones en algún tipo de experimento aleatorio. Formalmente, una variable aleatoria es una función, que asigna eventos (p.e., los posibles resultados de tirar un dado dos veces: (1, 1), (1, 2), etc.) a números reales(p.e., su suma).
Las variables aleatorias suelen tomar valores reales, pero se pueden considerar valores aleatorios como valores lógicos, funciones... El término elemento aleatorio se utiliza para englobar todo ese tipo de conceptos relacionados. Un concepto relacionado es el de proceso estocástico, un conjunto de variables aleatorias ordenadas (habitualmente por orden o tiempo).
Definiciónformal
Una variable aleatoria (v.a.) X es una función real definida en el espacio muestral, Ω, asociado a un experimento aleatorio.1 2

La definición formal anterior involucra conceptos matemáticos sofisticados procedentes de la teoría de la medida, concretamente la noción de espacio de probabilidad.3 4
Dado un espacio de probabilidad  y un espacio medible , -medible.
En la mayoría de los casosse toma como espacio medible de llegada el formado por los números reales junto con la σ-álgebra de Borel (el generado por la topología usual de ), quedando pues la definición de esta manera:
Dado un espacio de probabilidad  una variable aleatoria real es cualquier función -medible donde  es la σ-álgebra boreliana.
Clasificación de variables aleatorias.
 
Para su estudio, las variablesaleatorias se clasifican en:
Variables aleatorias discretas
Diremos que una variable aleatoria es discreta si su recorrido es finito o infinito numerable.
Generalmente, este tipo de variables van asociadas a experimentos en los cuales se cuenta el número de veces que se ha presentado un suceso o donde el resultado es una puntuación concreta.
Los puntos del recorrido se corresponden con saltos en lagráfica de la función de distribución, que correspondería al segundo tipo de gráfica visto anteriormente.
 
Variables aleatorias continuas
Son aquellas en las que la función de distribución es una función continua. Se corresponde con el primer tipo de gráfica visto.
Generalmente, se corresponden con variables asociadas a experimentos en los cuales la variable medida puede tomar cualquier valor enun intervalo; mediciones biométricas, por ejemplo.
Un caso particular dentro de las variables aleatorias continuas y al cual pertenecen todos los ejemplos usualmente utilizados, son las denominadas variables aleatorias absolutamente continuas.
 
Variables aleatorias absolutamente continuas
Diremos que una variable aleatoria X continua tiene una distribución absolutamente continua si existeuna función real f, positiva e integrable en el conjunto de números reales, tal que la función de distribución F de X se puede expresar como

Una variable aleatoria con distribución absolutamente continua, por extensión, se la clasifica como variable aleatoria absolutamente continua.
A la función f se la denomina función de densidad de probabilidad de la variable X.
Hay que hacer notar que notoda variable continua es absolutamente continua, pero los ejemplos son complicados, algunos utilizan para su construcción el conjunto de Cantor, y quedan fuera del nivel y del objetivo de este curso.
Igualmente indicaremos que los tipos de variables comentados anteriormente forman únicamente una parte de todos los posibles tipos de variables, sin embargo contienen prácticamente todas las variablesaleatorias que encontramos usualmente.
Tal como se estudiará más adelante, existen algunas familias de funciones de distribución, tanto dentro del grupo de las discretas como de las continuas, que por su importancia reciben un nombre propio y se estudiarán en los capítulos siguientes.

Distribución de probabilidad.
La distribución Normal suele conocerse como la "campana de Gauss"....