Variables aleatorias

Capítulo III:
Variables aleatorias

X
IR,PX

Una variable es una característica observable que
varía entre los diferentes individuos de una población.
El valor que toma puede ser un número, una palabra
o un símbolo.
• En los individuos de la
población bogotana, de
uno a otro es variable:
– El grupo sanguíneo
– Su nivel de felicidad
“declarado”
– El número de hijos
– La alturaEscala de medición
Discreta

Cualitativa o Atributo

Cuantitativa o Númerica
Continua

Nominal

Intervalo

Ordinal

Razón

Concepto de variable aleatoria
Una variable aleatoria asocia un número
con cada resultado del experimento
aleatorio.
Es aleatoria porque al no conocer el
resultado del experimento antes de
realizarlo, tampoco conocemos el valor
que va a tomar lavariable.

6-4

Situación 1
Lanzar tres monedas
X : número de caras
Y : número de sellos
• Espacio muestral : {SSS, SSC, SCS, CSS,
CCS, CSC, SCC, CCC}
• Valores posibles de X : x = {0, 1, 2, 3}
• Valores posibles de Y : y = {0, 1, 2, 3}

• Definición formal: Una variable aleatoria
X es una aplicación X: S IR, donde S
es el espacio muestral asociado a un
experimento.
X

e1
e2
e3IR
X(e3)

X(e2) X(e1)

6-6

Función de probabilidad
X : # caras

P(X = x) = f(x)

0

1/8 = 0.125

1

3/8 = 0.375

2

3/8 = 0.375

3

1/8 = 0.125

Total

8/8 = 1

A una variable aleatoria X se asocia una función
f : X [0,1], donde f(x) denota la probabilidad
asociada al valor x.

Los sucesos (eventos) que nos interesarán a partir
de ahora son del tipoXA donde A es un
subconjunto de IR.
P(XA) = P({eE: X(e)A})

Propiedades:
1. P(XA) 0
2. P(XIR) = 1
3. A1, A2,…IR son tales que AiAj= si i j,
entonces P(Xi=1, Ai)=Si=1,P(XAi)

Rango de una variable aleatoria
El rango de una variable aleatoria es el conjunto
de valores que puede tomar. Depende de la
naturaleza del espacio muestral al cual está
asociada.
– Una variablealeatoria es discreta si su
rango es finito o infinito numerable.
– Una variable aleatoria es continua si en su
rango está dado por un intervalo finito o
infinito (no es numerable).

Variables aleatorias discretas
Dada X variable aleatoria discreta, su función de
probabilidad (o función de masa / peso) asigna a cada
posible valor de la variable, la probabilidad de que X
tome dicho valor.f: IR [0,1]
x f(x) = P(X=x)
Propiedades:

– 0 f(x) 1 para todo x
– Si x = {x1,…,xn}, entoncesSi f(xi) = 1
– P(XA) = Sx A f(xi)
i

6-14

Situación 2
Dan Desch, propietario
de College Painters,
estudió sus registros de
las últimas 20 semanas
y obtuvo los siguientes
números de casas
pintadas por semana:

# de casas
pintadas
10

Semanas

11

6

12

7

132

5

6-15

Número de casas
pintadas, X
10

Probabilidad, f(X)

11

0.30

12

0.35

13

0.10

Total

1

0.25

Situación 3
Supongamos que X es el
número de motores averiados
en cierta máquina compuesta
por tres motores. Su función
de probabilidad es:

0.35
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10

0.375
0.375
0.125

0.05

1
2
3

0.00

p(x) = P(X=x)0.125

probabilidad

x
0

Funcion de probabilidad

0

1

2

numero motores averiados

3

Función de distribución
Proporciona probabilidad de que la variable
aleatoria tome un valor menor o igual que x.

F(x) = P(X  x)
Propiedades:
1. limx- F(x) = 0
2. limx F(x)=1
3. F es no decreciente
4. F es continua por la derecha

6-15

Número de casas
pintadas, X
10Probabilidad
acumulada, F(X)
0.25

11

0.55

12

0.90

13

1

F(x) =

0
0.25
0.55
0.90
1

si x < 10
si 10  x < 11
si 11  x < 12
si 12  x < 13
si 13  x

0.6
0.4
0.0

0.2

probabilidad

0.8

1.0

Funcion de distribucion

-1

0

1

2

3

4

numero motores averiados

Para una variable aleatoria discreta es escalonada:

F(x) = P(X ...