Variables Aleatorias

Distribución de Variables Aleatorias Discretas y Continuas.











Distribución de Variables Aleatorias Discretas.
 
* Distribución uniforme.
La distribución uniforme es la que corresponde a una variable que toma todos sus valores, x1, x2..., xk, con igual probabilidad; el espacio muestral debe ser finito.
Si la variable tiene k posibles valores, su función deprobabilidad sería:

donde k es el parámetro de la distribución (un parámetro es un valor que sirve para determinar la función de probabilidad o densidad de una variable aleatoria)
La media y la varianza de la variable uniforme se calculan por las expresiones:

 
             El histograma de la función toma el aspecto de un rectángulo, por ello, a la distribución uniforme se le suele llamardistribución rectangular.
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* Distribución binomial.
             La distribución binomial es típica de las variables que proceden de un experimento que cumple las siguientes condiciones:
1)     El experimento está compuesto de n pruebas iguales, siendo n un número natural fijo.
2)     Cada prueba resulta en un suceso que cumple las propiedades de la variable binómica o de Bernoulli, esdecir, sólo existen dos posibles resultados, mutuamente excluyentes, que se denominan generalmente como éxito y fracaso.
3)     La probabilidad del ‚éxito (o del fracaso) es constante en todas las pruebas. P(éxito) = p ; P(fracaso) = 1 - p = q
4)     Las pruebas son estadísticamente independientes,
             En estas condiciones, la variable aleatoria X que cuenta el número de éxitos en las npruebas se llama variable binomial. Evidentemente, el espacio muestral estar compuesto por los números enteros del 0 al n. Se suele decir que una variable binómica cuenta objetos de un tipo determinado en un muestreo de n elementos con reemplazamiento.
      La función de probabilidad de la variable binomial se representa como b(x,n,p) siendo n el número de pruebas y p la probabilidad del‚éxito. n y p son los parámetros de la distribución.

 
            La manera más fácil de calcular de valor de números combinatorios, como los incluidos en la expresión anterior, es utilizando el triángulo de Tartaglia
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        La media y la varianza de la variable binomial se calculan como:
Media = μ = n p
Varianza = σ2 = n p q
        Gráficamente el aspecto de la distribución depende deque sea o no simétrica Por ejemplo, el caso en que n = 4:
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* Distribución multinomial.
La distribución multinomial es esencialmente igual a la binomial con la única diferencia de que cada prueba tiene más de dos posibles resultados mutuamente excluyentes.
Si tenemos K resultados posibles (Ei , i = 1, ... , K) con probabilidades fijas (pi , i = 1, ... , K), la variable que expresael número de resultados de cada tipo obtenidos en n pruebas independientes tiene distribución multinomial.
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             La probabilidad de obtener x1 resultados E1, x2 resultados E2, etc. se representa como:

 
             Los parámetros de la distribución son p1,..., pK y n.
 

* Distribución hipergeométrica.
             Una variable tiene distribución hipergeométrica si procedede un experimento que cumple las siguientes condiciones:
1)     Se toma una muestra de tamaño n, sin reemplazamiento, de un conjunto finito de N objetos.
2)     K de los N objetos se pueden clasificar como ‚éxitos y N - K como fracasos.
            X cuenta el número de ‚éxitos obtenidos en la muestra. El espacio muestral es el conjunto de los números enteros de 0 a n, ó de 0 a K si K < n.En este caso, la probabilidad del ‚éxito en pruebas sucesivas no es constante pues depende del resultado de las pruebas anteriores. Por tanto, las pruebas no son independientes entre sí.
La función de probabilidad de la variable hipergeométrica es:

 
Los parámetros de la distribución son n, N y K.
Los valores de la media y la varianza se calculan según las ecuaciones:
           
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