Variables separables

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Ecuaciones en variables separadas
Las ecuaciones diferenciales de primer orden son las más simples de resolver, al menos en teoría. Muchos problemas de la física, biología, economía, ingeniería,etc., conducen a problemas de valor inicial que involucran ecuaciones de primer orden.
Durante muchos años los matemáticos se esforzaron por resolver tipos específicos de ecuaciones diferenciales.Debido a esto existen hoy en día muchas técnicas de solución, algunas de las cuales estudiaremos.  
|  | Definición [Ecuación diferencial separable]|
| |Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden [pic]que puede escribirse en la forma: |
| |[pic]|
| | |
| ||
| |se llama ecuación diferencial en variables separadas. |
||  |

Observación: una ecuación de la forma:
[pic]

puede transformarse en unaecuación en variables separadas al dividir por el factor [pic]
[pic]

y al integrar obtenemos la solución
[pic]

Tenga presente que al dividir por el factor [pic]puede perder soluciones que anulan estefactor, las cuales pueden ser soluciones singulares.
 
Ejemplo
Resuelva la ecuación diferencial ordinaria
[pic]

Dividiendo por el factor [pic]obtenemos
[pic]

Y al integrar
[pic]Simplificando
[pic]

Observe que el factor [pic]es cero cuando [pic]y [pic]con [pic]y al sustituirlas en la ecuación original se comprueba que son soluciones, pero se obtienen de la solución general...
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