Variables

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Derivada de una función constante
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),
                            f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que
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Luego laderivada de una constante es siempre cero.
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Derivada de la función lineal mx + b
Sea una función lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x,
[pic][pic]lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.
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Derivada de una constante por una función, k · f(x)
Si kes una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k · f(x) será:
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Se ha demostrado que (k · f(x))' = k · f'(x) Así, para derivar una expresión de la forma
k · f(x), basta derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k.
Derivada de la función potencia xm (m un número natural)
Para calcular la derivada de la función f(x) = xm, m > 0, hay queevaluar el cociente
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Tomando límites cuando h --> 0,
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sumandos tiende a cero (su límite es cero).
Se concluye que
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Ejercicio: cálculo de derivadas
Calcular la derivada de f(x) = x2 en el punto de abscisa - 1.
Resolución:
f '(x) = 2 · x2 - 1 = 2 x
             f '(- 1) = 2 · (- 1) = - 2
Entonces, la pendiente de la tangente a la parábola y = x2 en x = - 1es - 2.
 
Derivadas de las funciones trigonométricas sen x y cos x
La derivada de la función f(x) = sen x es f '(x) = cos x
La derivada de la función g(x) = cos x es g '(x) = - sen x
Si necesitas las demostraciones dímelo.
Derivada de la función logaritmo neperiano ln |x|
Puesto que el logaritmo está definido sólo para valores positivos y distintos de cero, es necesario considerar ellogaritmo del valor absoluto de x.
Para calcular la derivada de esta función se han de considerar dos casos, x > 0 y x < 0:
a) Si x es positivo, aun tomando h negativo, x + h es positivo si se toman valores de h suficientemente pequeños, lo cual es posible pues se va a calcular el límite cuando h tiende a cero. En estas condiciones [pic]
[pic][pic]Por tanto, si x > 0
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b)Si x es negativo, aun tomando h positivo y suficientemente pequeño, x + h sigue siendo negativo y |x + h| = - (x + h) y |x| = - x.
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Como se aprecia, se llega a la misma expresión que en el caso anterior y la demostración se continuaría de forma idéntica.
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Derivadas de las funciónes exponenciales ax y ex
Sea la función y = ax, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivadade esta función en un punto x es:
[pic][pic][pic]
y se toman logaritmos neperianos:
[pic][pic][pic]
Luego:
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[pic]
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En particular, cuando la constante a es el número e, la derivada de la función ex es
                                    (ex )' = ex · ln e = ex · 1 = ex
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Hasta el momento se saben derivar algunas funciones elementales pero no hay nada que permitaencontrar las derivadas de una suma, un producto o un cociente de estas derivadas; se requiere, por consiguiente, seguir avanzando en la obtención de propiedades encaminadas a este fin.
 
Operaciones con funciones
Hay que recordar cómo se definen la suma, el producto y el cociente de funciones. Si f y g son dos funciones definidas en un mismo intervalo (en caso contrario, alguna de estasoperaciones podría no estar definida),
[pic]
Función suma de f y g como la nueva función f + g: [a,b] ---> R,
                                             (f + g) (x) = f(x) + g(x)
Función producto de f y g como la función f ·g: [a,b] ---> R,
                                              (f · g) (x) = f(x) · g(x)
[pic]
siempre que g(x) distinto de 0 para todo x del intervalo.
Derivada de una suma...
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