variados

Contenidos extraídos del apunte “Inferencia Estadística ”, del autor José Luis
Lorente, España.
http://joseluislorente.es/index_.htm

1. Introducción.
El problema de la inferencia estadística es el inverso a los temas anteriores, que
buscábamos la probabilidad de que ocurran distintas distribuciones planteadas. Ahora se
trata a partir de los datos de muestras representativas se inferiránresultados acerca de
la población, como por ejemplo estimar el valor de µ (estimación puntual de µ).
Por ejemplo si queremos calcular la altura media de todos los escolares, y para ello
tenemos una muestra de n=100. ¿qué valor elegimos como el más aproximado a µ?. Si
la media de la muestra es de 165cm, podremos afirmar que es “aproximadamente de
165 cm”. Pero no podemos decir que exactamenteel valor de µ es de 165cm, pues
generalmente el valor de la media muestral no es exactamente el mismo que la media
poblacional. Es por esto que esta ésta estimación se dice estimación puntual. Los
estimadores puntuales sólo dan una idea aproximada del verdadero valor del parámetro
a estimar, sin saber como de fiable es tal aproximación.
La estimación puntual es poco útil, es mucho másinteresante obtener un intervalo
dentro del cual se tiene cierta confianza (fijada de antemano) de que se encuentre el
parámetro que se desee aproximar. Estimar un parámetro poblacional, por ejemplo µ,
mediante un intervalo [a,b] con un nivel de confianza 1-α (que se suele dar en tanto por
cién) se denomina estimación por intervalo de confianza

P(a≤µ≤b)=1-α

2. Intervalo de confianza para mediapoblacional. Tamaño de la
muestra.
2.1. Intervalo de confianza
Partimos de una población formada por un gran número de elementos y de la que
queremos estudiar una variable aleatoria X que sigue una distribución normal N(µ,σ)
con media, µ, y desviación, σ, desconocidas.
Con el fin de estimar µ se toma una muestra aleatoria simple de tamaño n que nos
proporciona una media തതത, que será elestimador puntual de µ. Por el teorema central
‫ݔ‬௡
del límite (que vimos en el tema anterior) sabemos que la si la población grande, n>30,
entonces las medias ‫ݔ‬ҧ siguen la ley normal N(µ,σ/√݊), de forma que la variable

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tipificada será z =

xn − µ
σ

que sigue distribución normal (N(0,1)). Si nos dicen elnivel

n

de confianza es 1-α, el intervalo de confianza en Z será: ICZ=[െ‫ݖ‬ఈ/ଶ , ‫ݖ‬ఈ/ଶ ]. Siendo
‫ݖ‬ఈ/ଶ el valor que cumple P(Z≤‫ݖ‬ఈ/ଶ )=1-α/2.
Veámoslo gráficamente:

Área=1-α

Área=α/2

Área=α/2

-zα/2

0

zα/2

P(z≤zα/2)=1-α+α/2=1-α/2
Para obtener el intervalo de confianza de las medias de x, ‫ݔ‬௡ y no de Z sólo
തതത,
tenemos que deshacer la tipificación, si z =

xn −µ

x n = µ + z·

σ
n

σ
n

. De esta forma

se cumple que el intervalo [a,b] de confianza de തതത, equivalente al de z,
‫ݔ‬௡
ICZ=[െ‫ݖ‬ఈ/ଶ , ‫ݖ‬ఈ/ଶ ],

serán

a = x + zα / 2 ·

σ
n

, b= x − zα / 2 ·

σ
n

y x por lo que el

intervalo de confianza es entonces:
IC=[ x − zα / 2 ·

σ
n

, x + zα / 2 ·

σ
n

]

Siendo el error máximo cometido al estimar µmediante തതത con precisión de 1-α igual a
‫ݔ‬௡
E= zα / 2 ·

σ
n

. Si n≥30 podemos asumir que σ=s, varianza muestral.

Los valores de zα/2 se encuentran sin problema en la tabla de distribución normal,
aunque en la siguiente tabla ponemos los valores más usualmente usados:

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Probabilidad

80%

90%

95%99%

1-α

0,8

0,9

0,95

0,99

α(nivel significación)

0,2

0,1

0,05

0,01

α/2

0,1

0,05

0,025 0,005

zα/2

1,282 1,645 1,960 2,575

Para cualquier otro valor de α, se debe utilizar la tabla de probabilidad, buscando
zα/2 de forma que se cumpla p(z≤ zα/2)=1−α

Ejemplo: En los paquetes de arroz de cierta marca pone que el peso que contiene es
de 500...