Varianza de los estimadores máximo verisimiles

Varianza de los estimadores máximo verosímiles
Los estimadores obtenidos por el método de máxima verosimilitud son considerados los
mejores estimadores insesgados(MEI o BUE por sus siglas en ingles). Ser los mejores implica
tener varianza mínima.
Puede demostrarse que cuando n → ∞ , I (θ )Var (θ ) → 1 por lo que puedeinferirse que

I −1 (θ ) = VAR(θ ) . Debemos construir entonces la matriz I (θ ) para invertirla y obtener

entonces la varianza de los EMV.
¿Como construir I (θ ) ?Existen dos caminos
1) Partiendo de la función de densidad f ( x | θ ) donde θ puede ser un parámetros o un
vector de parámetros. Tomamos el logaritmo y laderivamos dos veces respecto de sus
parámetros. Tomamos la esperanza de dicha matriz y la multiplicamos por –n.

 ∂ 2 ln f ( x | θ ) 
− nE 
 = I (θ )
∂θ 2


2)Partiendo de la función de verosimilitud L( x | θ ) , tomamos logaritmo para obtener la
función l ( x | θ ) . Derivamos dos veces respecto de los parámetros ytomamos la
esperanza de dicha matriz. Una vez hecho esto solo nos resta cambiar el signo.

 ∂ 2l ( x | θ ) 
− E
 = I (θ )
2
 ∂θ

La diferencia radica en quecuando uno obtiene la función de verosimilitud y la deriva aparece
durante el desarrollo una n que falta si realizamos el primer camino. Los resultados, como era deesperar, son iguales.
Una vez obtenida la matriz I (θ ) solo nos resta invertirla para obtener la varianza del estimador.
En caso de ser un único parámetro,debemos cambiar numerador por denominador. Si son
varios parámetros, la matriz toma una dimensión mayor a 1x1 requiriendo un poco mas de
complejidad en el álgebra.