Varianza

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VARIANZA

La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

Esta medida nos permite identificar la diferencia promedio que hay entre cada uno de los valores respecto a su punto central (Media [pic]). Este promedio es calculado, elevando cada una de las diferencias al cuadrado (Con el fin de eliminar los signos negativos),y calculando su promedio o media; es decir, sumado todos los cuadrados de las diferencias de cada valor respecto a la media y dividiendo este resultado por el número de observaciones que se tengan Si la varianza es calculada a una población (Total de componentes de un conjunto), la ecuación sería:

La varianza se representa por [pic].

[pic][pic]Varianza para datos agrupados[pic][pic]

Para simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresiones que son equivalentes a las anteriores.

[pic][pic]

Varianza para datos agrupados

[pic][pic]

Ejercicios de varianza

Calcular la varianza de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

[pic]

[pic]

Calcular lavarianza de la distribución de la tabla:

|  |xi |fi |xi · fi |xi2 · fi |
|[10, 20) |15 |1 |15 |225 |
|[20, 30) |25 |8 |200|5000 |
|[30,40) |35 |10 |350 |12 250 |
|[40, 50) |45 |9 |405 |18 225 |
|[50, 60 |55 |8 |440|24 200 |
|[60,70) |65 |4 |260 |16 900 |
|[70, 80) |75 |2 |150 |11 250 |
|  |  |42 |1 820|88 050 |

[pic]

[pic]

Propiedades de la varianza

1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.

3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza quedamultiplicada por el cuadrado de dicho número.

4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.

Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:

[pic]

Si las muestras tienen distinto tamaño:

[pic]

Observaciones sobre la varianza

1 La varianza, al igual que la media, es un índicemuy sensible a las puntuaciones extremas.

2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza.

3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que las desviaciones están elevadas al cuadrado.

DESVIACION ESTANDAR

2. Desviación estándar o Típica

Esta medida nos permite determinar el promedio aritmético de fluctuación delos datos respecto a su punto central o media. La desviación estándar nos da como resultado un valor numérico que representa el promedio de diferencia que hay entre los datos y la media. Para calcular la desviación estándar basta con hallar la raíz cuadrada de la varianza, por lo tanto su ecuación sería:
 
[pic]
Ecuación 5-8
 
Para comprender el concepto de las medidas de distribución...
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