Vectores ejerccicios

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Ejercicios Resueltos Semana 1 - Matem´ticas I a

Ejercicio 1: Verano 2006
Considere el tri´ngulo ABC de la figura. Los puntos P , Q y R son puntos medios a de los lados indicados.

− − → − → −→ − − − → −→ − − → − → − − → − → (1) Calcule las sumas P Q + AP + BQ, AB − CB − RC y 2AR + CQ + RP . Sol: Usando propiedades de vectores se tiene: − − → − → −→ − − → − − → −→ − P Q + AP + BQ = AP + P Q +BQ − → −→ − −→ − − − → = AQ + BQ (Usando que BQ = QC) − → − − → = AQ + QC − → = AC − − → −→ − − → − − → −→ − − → AB − CB − RC = AB + BC + CR − → − → = AC + CR − → = AR − → − − → − → − → − → − → − − → 2AR + CQ + RP = AR + AR + RP + CQ − → − → − − → = AR + AP + CQ − → 1− − → 1 −→ − 1 = 2 AC + 2 AB + 2 CB − → − − → −→ − = 1 (AC + AB + CB) 2 − − → − − → = 1 (AB + AB) 2 − − → = AB) − → − → − → 1 − (2)Se define el punto G mediante la relaci´n AG = 3 AB + AC . Usando la o − → − − → −→ − identidad AC = AB + BC, pruebe las igualdades − → − → 1 −→ − 2− AG = AB + BC, 3 3 −→ − − → −→ − 1 − BG = BA + BC . 3

2

Sol: Por definici´n: o − → − → 1 − AB + AC , 3 − → − − → −→ − 1 − = AB + AB + BC , 3 − → 1 −→ − 2− AB + BC. = 3 3 Usando lo encontrado antes, se tiene: = −→ − − − → − → BG = BA + AG − − → −→ = −AB + AG − − → 2− − → = −AB + AB + 3 − → 1 −→ − 1− = − AB + BC 3 3 − − → 1 −→ − = (BC − AB) 3 − − → 1 −→ − = (BC + BA) 3 − − → − → − − → −→ − (3) Dibuje los vectores AB + AC y BA + BC. −→ − − − → que BG = λBR Sol: Se tiene la siguiente figura: − → AG

− 1 −→ BC 3

Encuentre el n´mero real λ tal u

Se debe notar que − − → −→ − − → −→ 1 − − → −→ 1 − − − → −→ − − → −→ − 1 − BR = BC + CR =BC + CA = BC + (BA − BC) = (BA + BC) 2 2 2 −→ − − − → Luego, se busca λ tal que, BG = λBR, lo que equivale a encontrar λ tal que − − → − → −→ − 1 −→ − 1 − (BC + BA) = λ BA + BC . 3 2 es decir,

3

− → 1 1 − λ− BA 2 3 − − → −→ − Para que lo anterior ocurra, dado que BA no es paralelo a BC, se debe 2 tener que λ = . 3

−→ − 1 1 − λ BC = 3 2

Ejercicio 1: Verano 2007
9 19 Dado el tri´ngulode v´rtices A = (−2, −1), B = (2, 2) y C = 5 , − 10 . a e (1) Determine las ecuaciones vectorial y cartesiana de la recta L1 que pasa por los v´rtices A y B. e Sol: • Ecuaci´n vectorial: Dados los puntos A y B, un vector director de la recta o que pasa por ellos est´ dado por d = OA − OB. Por lo tanto, la recta se a puede escribir como:

x y

= OA + α(OA − OB) =

−2 −4 +α . −1 −3 2 − (−1) = 2− (−2)

• Ecuaci´n cartesiana. La pendiente de la recta est´ dada por m = o a

3 . Por lo tanto se tiene: 4 3 3 1 y − 2 = (x − 2) ⇔ y = x + . 4 4 2 (2) Determine las ecuaciones vectorial y cartesiana de la recta L2 que es perpendicular a L1 y que pasa por el v´rtice C. e Sol: La forma m´s simple es encontrar la ecuaci´n cartesiana primero. Dado a o que L2 es perpendicular a L1 , se debe tenerm2 = −4 . Adem´s como L2 pasa a 3 por C, se tiene: 19 −4 9 −4 1 = x− ⇔y= x+ . 10 3 5 3 2 Para encontrar la ecuaci´n cartesiana, podemos encontrar otro punto de L2 o que pertenezca a C, evaluado, por ejemplo, en x = 0 Para x = 0 se tiene: −19 4 9 −19 12 1 y= + = + = 10 35 10 5 2 o Por lo tanto, el punto (0, 1 ) pertence a L2 . Luego la ecuaci´n vectorial de 2 L2 est´ dada por: a y+
9 x 0 = 1 +α 5. 7 y 2 5 (3) Encuentre el punto de intersecci´n D entre L1 y L2 (este punto debe estar o sobre el eje y). Sol: Se debe resolver el sistema:

4

y y

= =

3 1 4x + 2 1 −4 3 x+ 2

(Recta L1 ) (Recta L2 )

1 Inmediatamente se nota que para x = 0, y = 2 tanto para la recta L1 como para L2 . Por lo tanto, el punto de intersecci´n D entre las dos rectas (que de o existir es unico), es elpunto D = (0, 1 ). ´ 2 (4) Calcule la distancia d1 entre A y B y la distancia d2 entre C y D (simplifique hasta obtener n´meros enteros). u Sol:

d1 =
2

(2 − (−2))2 + (2 − (−1))2 =
2



16 + 9 = 5

d2 =

0−

9 5

+

1 − 2

−19 10

=

81 144 + = 25 25

81 + 144 = 25

15 225 = =3 25 5

(5) Compruebe que el ´rea del tri´ngulo es 7.5. a a El segmento CD es la altura...
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