Vectores en el plano

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Vectores en el plano

Un vector es cualquier cosa para el que tenga definida una suma (se pueda sumar/ restar) exista neutro y se pueda multiplicar por números. Las flechas en el plano con origen fijo se pueden sumar (paralelogramo) y se pueden multiplicar por números sin más que repetir la suma.
En el plano, una flecha es un segmento orientado de origen y extremo , que tienelas siguientes características:

• Módulo: longitud del segmento .
• Dirección: la de la recta que lo contiene y todas sus paralelas.
• Sentido: el que va del origen al extremo.

Los vectores y tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero sentido contrario. Los vectores y son opuestos.
El conjunto de todos los vectores fijos del mismo módulo, direccióny sentido forma lo que se denomina un vector libre. Una propiedad importante que cumplen los vectores libres es que si es un vector libre y es un punto del plano, existe un único punto tal que .

Componentes de un vector

Un sistema de referencia está formado por dos rectas y , llamadas ejes de coordenadas que se cortan en un punto , origen de coordenadas, y una unidad demedida en cada eje. Cuando las dos rectas son perpendiculares el sistema es ortogonal y cuando, además, las dos unidades de medida son iguales a uno, el sistema es ortonormal.
Para representar un punto del plano en un sistema de coordenadas cartesiano se trazan desde perpendiculares a los ejes, obteniendo y .
Si la distancia de a es , y la de a es , entonces e reciben el nombrede coordenadas del punto
Se escribe , siendo la abscisa e la ordenada.
Conocidas las coordenadas del origen y del extremo de un vector fijo , se puede determinar las componentes del vector restando a las coordenadas del extremo las del origen:


Suma de vectores

Sean y dos vectores libres, se define el vector suma como otro vector obtenido de la siguiente forma:1. Se señala un punto del plano y se traza el vector representante de .
2. Por el extremo se traza el vector
3. El vector que tiene como origen ( origen del primero ) y como extremo ( extremo del segundo ) es el representante del vector suma .



La suma tiene las siguientes propiedades:

• Asociativa:
• El vector nulo es , pues:. Dado un punto cualquiera , el vector es un representante del vector libre .
• El vector opuesto de es , pues:
• Conmutativa:

Producto de un número real por un vector

Si es un vector libre y un número real, se define el producto como un nuevo vector que tiene por módulo el producto , por dirección la misma de y sentido el mismode si es positivo, y opuesto, si es negativo.

El producto de un número real por un vector tiene las siguientes propiedades:






Además, si , se verifica que, o bien o bien .

Un espacio vectorial es un conjunto (de vectores) donde se define una operación suma y una operación producto por un numero real y estas operaciones satisfacen laspropiedades de la suma y producto por un numero real que hemos visto en el conjunto de los vectores libres del plano.

De hecho, en la definición de espacio vectorial que acabamos de ver los números reales pueden ser sustituidos por otro conjunto, como el conjunto de los números complejos.

Ejemplo

El conjunto se define como el conjunto de ternas de números reales. En se definenla suma y el producto por un número real así:

1. Suma:

2. Producto por un número real:

El conjunto con estas operaciones es un espacio vectorial.

Bases , Dimensión, Cuerpo y grupos

Las bases revelan la estructura de los espacios vectoriales de una manera concisa. Una base es el menor conjunto (finito o infinito) B = {vi}i ∈ I de vectores que generan todo el espacio....
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