Vectores en el plano


Vectores en el plano

El plano cartesiano permite asociar a cada punto  del plano, un par ordenado  de números reales, que son sus coordenadas rectangulares, como en la figura de la derecha. 





Ahora bien, si se considera el segmento de recta que une el origen de coordenadas (el punto ) con el punto  y se supone que representa el desplazamiento de un objeto cualquiera desde  hasta ,puede también representarse gráficamente este desplazamiento en el plano cartesiano. (Observa la figura de la izquierda)

El segmento de recta  tiene una magnitud (la medida del segmento ), una dirección (la inclinación del segmento con respecto al eje de las abscisas) y tiene un sentido u orientación (desde hacia ). 
Estas tres cualidades: magnitud, dirección y sentido definen lo que es unvector en el plano. En el caso del vector de la figura anterior, el cual se denota , se denomina 'origen' al punto  y 'extremo' al punto . 

Por lo pronto, se considerarán sólo vectores con origen en el punto  del plano cartesiano. Así, por ejemplo, si el punto  tiene coordenadas (1,4), estas coordenadas definen al vector  que se muestra en la figura de la derecha.










También seusan letras para denotar vectores, cuando no es preciso especificar cuál es el origen (como es el caso ahora).
 El vector  se representa en la figura siguiente con el objeto de resaltar el hecho siguiente: tiene la misma dirección que  y la misma magnitud, pero sentido opuesto. (Observa la figura de la izquierda)

(-1,-4) son las coordenadas del vector . En la Física son usados con frecuencialos vectores para representar fuerzas aplicadas a objetos, pues el resultado de aplicar una fuerza determinada depende de la magnitud, la dirección y el sentido con que es aplicada. Por ejemplo, si los vectores y  de la figura anterior representan dos fuerzas aplicadas a un objeto ubicado en , simultáneamente, entonces el objeto no se movería en absoluto, porque el resultado de aplicar fuerzasiguales en magnitud y dirección pero sentido opuesto es la anulación de una fuerza por la otra. En términos algebraicos, también se anulan: 

 
Esto es lo que ocurre cuando dos personas juegan a 'hacer pulso' y ambas ejercen idéntica fuerza en magnitud y dirección, pero en sentido contrario: las manos agarradas de los contrincantes no se mueven, a pesar de que hay fuerzas intentando moverlas.Suma y resta de vectores 

Dados dos vectores ,  en el plano, con, , se define la suma como:

Gráficamente, para construir el vector suma , se procede así: Se traza el siguiente paralelogramo a partir de los lados  y , y luego se traza la diagonal desde  hacia el vértice opuesto. 




La diagonal trazada es el vector resultante de sumar  y . 

Ejemplo: (Ver figura dela izquierda) 
  

, ,



Dado un vector , su opuesto es el vector ;  es el único vector que sumado a  da el vector nulo como resultado:

Por ejemplo, el vector opuesto del vector  es  



Como se aprecia en la figura anterior,  es el vector ubicado sobre la misma recta que contiene a , tiene su misma magnitud, pero sentido contrario. La resta de vectores  no es más que la suma de  másel opuesto de :

Por ejemplo: ; ; 


 













Magnitud o módulo de un vector 

La magnitud de un vector en el plano es la medida de su longitud. Para calcular la magnitud de un vector, llamada también módulo de , conociendo sus coordenadas, se utiliza la siguiente fórmula:
Módulo de :
Esta fórmula es una aplicación del Teorema de Pitágoras, como se ve en la figura dela derecha. 



El triángulo  es rectángulo y  es la hipotenusa. Por lo tanto, . Es decir,
   ó
Ejemplo: El módulo del vector  es , pues 
 




















Multiplicación de un vector por un escalar 

Se llaman escalares a los números reales, cuando se está trabajando con vectores en el plano cartesiano. Todo vector  se puede multiplicar por un escalar , es...