Vectores En Espacio Tridimensional

Vectores en el espacio tridimensional
Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto y su extremo en el otro.

Componentes de un vector en el espacio
Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o componentes del vector  son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.

Determinar la componentes delos vectores que se pueden trazar el el triángulo de vértices A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).

Módulo de un vector
El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.
El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene módulo cero.
Cálculo del módulo conociendo sus componentes

Dados los vectores y , hallar los módulos de  y ·Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos puntos.

Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).

Vector unitario
Un vector unitario tiene de módulo la unidad.
La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, dela misma dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su módulo.

Operaciones de vectores en el espacio
Suma de vectores
Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Ejemplos
Dados = (2, 1, 3),  = (1, −1, 0),  = (1, 2, 3), hallar el vector  = 2u + 3v − w.
 = (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3)
Dados los vectores  y ,hallar el módulo del vector .

Propiedades de la suma de vectores
Asociativa
 + ( +  ) = ( + ) + 
Conmutativa
 +  =  + 
Elemento neutro
 +  = 
Elemento opuesto
 + (− ) = 
roducto Escalar de Vectores
El producto escalar de vectores se puede definir de dos maneras equivalentes, una manera algebraica, y otra geométrica. Comenzaremos con la manera geométrica, que tiene un significadointuitivo.
Tomemos dos vectores  y , y llamemos  al ángulo que ellos forman. Entonces, el producto escalar entre dichos vectores es:

en que  y  corresponden a las longitudes de los vectores  y , respectivamente. Naturalmente, debe cumplirse que

Si usamos la representación cartesiana, se tiene que:

es decir, se satisface el teorema de Pitágoras, conocido de nuestros estudios de geometía elemental.Indudablemente, la definición del producto escalar de vectores puede usarse para definir el ángulo entre dos vectores,

De acuerdo a la definición dada, es fácil ver que el producto escalar de dos vectores puede tambien definirse usando las componentes cartesianas de los vectores,

Producto vectorial de dos vectores

Sean  y  dos vectores concurrentes de , el espacio afín tridimensionalsegún la base anterior.
Se define el producto , y se escribe , como el vector:

En el que
, es el determinante de orden 2.
O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girandoel primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de  es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.
La siguiente expresión, aunque carece de significado matemático estricto, sirve de método nemónico para recordar el orden de las coordenadas en el producto:[cita requerida]

TRIPLE PRODUCTO ESCALAR
Sean a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) y c = (c 1 , c 2 , c 3 ) , entonces:
a • ( b × c ) = a 1 ( b 2 c 3 – b 3 c 2 ) + a 2 ( b 3 c 1 – b 1 c 3 ) + a 3 ( b 1 c 2 – b 2 c 1 )
Teoremas
Sean a , b y c vectores, entonces:
a • ( b × c ) = b • ( c × a ) = c • ( a × b )
a • ( b × c ) = ( a × b ) • c
| a • ( b × c ) | = volumen del paralelepípedo
Determinado por los vectores a , b y c
TRIPLE PRODUCTO VECTORIAL
A veces se...