Vectores En Rn

MATRICES Y VECTORES EN Rn
Vectores en Rn :
De…nición 1 n 2 N: Llamamos vector …la (o simplemete vector ) en Rn a cualquier matriz de tamaño 1 n con entradas reales. Esto es, un vector tiene la forma x1 x2 x3 donde xi 2 R; para i = 1; 2; ; n: xn

Notaciones y terminología 1. Los vectores se suelen simbolizar usando letras minúsculas con una ‡ echa encima, tales como !; !; !; etc: x y z 2. Porconvención se suele separar por comas las entradas del vector. Es decir, los vectores se escriben así x1 ; x2 ; x3 ; ; xn ; y decimos que xi es la i esima componente del vector. Por ejemplo, p ~ = 1; 2; 0; 2 x

es un vector con cuatro componentes. Las cuales son: Componente Componente Componente Componente 1 2 3 4 ! 1 ! 2 ! p 0 ! 2

3. El conjunto de todos los vectores con n componentes sesimboliza por Rn . Esto es, Rn = f(x1 ; x2 ; ; xn ) : xi 2 R; i = 1; 2; ; ng

En particular, R2 y R3 están dados por R3 R2 = f(x; y) : x; y 2 Rg = f(x; y; z) : x; y; z 2 Rg

4. Al vector cuyas componentes son todas cero se le llama vector nulo o vector cero 5. La transpuesta de un vector se le llama vector columna. Operaciones con vectores y propiedades. Debido a que los vectores en Rn son casosespeciales de matrices, se operan de la misma forma que las matrices, es decir, la suma se obtiene sumando las componentes correspondientes, y en la multiplicación por escalar se multiplica cada componente del vector por el escalar dado. Por consiguiente, estas operaciones satisfacen las mismas propiedades que en las matrices. Ejemplo 1. Obtenga el vector X que satisface la siguiente ecuación 2X +3A = Solución 2X + 3A = A + 4X () 2X 4X = A 1 A + 4X 3A:

() 2X = 4A: () X = 2A: 1. Obtenga el vector X que satisface la siguiente ecuación 3X Solución Producto escalar de vectores. De…nición 2 Sean ~ = (x1 ; x2 ; x ; xn ) ; y~ (y1 ; y2 ; = ; yn ) dos vectores en Rn : De…nimos el producto punto de los vectores ~ e ~ como el número real ~ ~ dado por la ecuación x y x y ~ ~ = x1 y1 + x2 y2 + x yEjemplo. Dados los vectores x = ( 1; 2; + xn yn 2A + B = B 4X 3A

1=2; 2=3) y y = (0; 1=3; 1; 1=2) ; tenemos:

~ ~ = x y

1; 2;

1 2 2 ; 3 1 3

0; +

1 3; 1 2

1;

1 2 2 3 1 2

~ ~ = x x

1; 2;

1 2 2 ; 3

1; 2;
1 2

1 2 2 ; 3 1 2

= ( 1) (0) + (2) = 0+ =
1 2 2 3 1 2

(1) +

= ( 1) ( 1) + (2) (2) + = 1+4+ =
205 36 1 4

+

2 3

2 3

+

1 3

+

4 9Observaciones: 1. ~ ~ es un número real para todo ~ ; ~ 2 Rn . x y x y 2. Para ~ = (x1 ; x2 ; x ; xn ) se tiene que ~ ~ = x2 + x2 + x x 1 2 por tanto ~ ~ x x 0. Además, ~ ~ = 0 () ~ = ~ Rn x x x 0 A continuación presentamos un teorema que resume algunas de las propiedades más usuales del producto escalar. La demostración de las mismas es un ejercicio para el estudiante Teorema(propiedades delproducto punto) Para ~ ; ~ ; ~ 2 Rn y 2 R. Se cumple que: x y z 1. ~ ~ = ~ ~ x y y x 2. ( ~ ) ~ = (~ ~ ) = ~ ( ~ ) : x y x y x y 3. ~ (~ + ~) = ~ ~ + ~ ~ x y z x y x z Norma de un vector De…nición 3 Sean x un vector en Rn : La norma de x notada k ~ k; se de…ne por x p k ~ k= x x x esto es, si ~ = (x1 ; x2 ; x ; xn ) ; entonces q k ~ k= x2 + x2 + x 1 2 2 + x2 n

+ x2 n

NOTA. La de…niciónplantea que para calcular la norma de un vector basta con extraer la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las componentes el vector. Ejemplos p 1. La norma del vector ~ = x 1; 2; 1 es q p 2 k~ k = x ( 1)2 + 2 + 12 p = p1 + 2 + 1 = 4 = 2 2. La norma del vector ~ = ( 2; u k~ k = u = = = 1 5; 0; 10) es q ( 4)2 + ( 3)2 + ( 5)2 + 102 p p16 + 9 + 25 + 100 150 p 5 6

Usando las propiedades delproducto punto, obtenemos algunas propiedades de la norma, las cuales se resumen en el siguiente teorema: Teorema(propiedades de la norma) Para todo ~ ; ~ 2 Rn y 2 R. Se cumple que: x y 1. k ~ k 0: x 2. k ~ k= 0 () ~ = ~ Rn : x x 0 3. k ~ k= j j k ~ k : x x 4. ~ ~ x y k ~ kk y~ x k (Desigualdad de Cauchy-Schwuarz). ~ k~ k+k~k 5. k ~ + y k x x y (Desigualdad triangular). Demostración (Ejercicio)...