Vectores Espacio
ESPACIO
Algebra lineal
Algebra lineal
Vectores en el
espacio
Eje Z
O
Eje Y
Eje X
Sistema de coordenadas de la mano
derecha
Algebra lineal
Vectores en el
espacio
Dado un vector u se le asocia el punto P(a,b,c)
así:
Eje Z
c
u
a
Eje X
b
Eje Y
u=(a,b,c) son las
coordenadas del punto P y
Algebra lineal
Vectores en el
espacio
Dado (a,b,c)3 se le asocia el vector uasí:
Eje Z
u=(a,b,c
)
c
u
a
Eje X
b
Eje Y
Algebra lineal
Vectores en el
espacio
Punto P
en el espacio
Vector u=OP
desde el origen hasta
(a,b,c)3
Esta correspondencia se
llama: Sistema de coordenadas
Algebra lineal
Vectores en el
espacio
Plano XY={(x,y,z) 3/
z=0}
Eje Z
O
Eje X
Eje Y
Algebra lineal
Vectores en el
espacio
Eje Z
Plano XZ=
{(x,y,z) 3/ y=0}
O
Eje X
Eje YAlgebra lineal
Vectores en el
espacio
Plano YZ={(x,y,z) 3/
x=0}
Eje Z
O
Eje X
Eje Y
Algebra lineal
Vectores en el
espacio
Sean u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3)
vectores en el espacio y un
número real. Se define el vector:
suma u+v como
u+v= (u1+ v1, u2+ v2,
u3+v3)
producto por un escalar u
como
Algebra lineal
Vectores en el
espacio
La magnitud o norma de un
vector
u=(u1,u2,u3)
essu
longitud, es decir, de acuerdo
al teorema de Pitágoras.
u
2
u1
2
u2
2
u3
Un vector de norma 1 se llama
vector unitario
Algebra lineal
Vectores en el
espacio
Ejemplo
Nº1
a) Encuentre el vector de
norma 4 en la dirección del
vector (2,-2,-1)
b)
Encuentre
el
vector
unitario que forma un ángulo
de /4 con el eje X
Algebra lineal
Vectores en el
espacio
a)
Solución
Nº1
u 4 4 13
por lo
tanto
4
4
u
(2,-2,-1) es el vector
u
3
buscado
Algebra lineal
Vectores en el
espacio
b) Hay infinitos vectores de norma 1,
que forman un ángulo de /4 con el eje
X.
Eje Z
Eje X
Eje Y
Algebra lineal
Vectores en el
espacio
Por lo tanto en 3 se define
una dirección como un vector
unitario.
u=(a,b,c)
Eje Z
u
unitario
a= cos
b= cos
c= cos
Eje Y
Eje Xcos2+cos2+cos2 =1
, , son los ángulos directores
Algebra lineal
Vectores en el
espacio
Producto escalar
Se define el producto interior o
producto escalar de dos vectores
u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) como:
u.v=u1v1+u2v2+u3v3
Se define el ángulo
entre dos vectores u y
v como el ángulo no
negativo mas pequeño
entre u y v.
Algebra lineal
Vectores en el
espacio
Producto escalar
Eje Z
/2
Eje Y
Dosvectores
son paralelos si
el ángulo entre
ellos es 0 o .
Eje X
Dos vectores son ortogonales
si forman un ángulo de /2
Algebra lineal
Vectores en el
espacio
Teorema:
u y v vectores no nulos y el
ángulo entre ellos, entonces
u.v u v cos
Sean
Interpretación
geométrica:
u
u.v
ucos
Proyvu= 2
v
v
v
Algebra lineal
Vectores en el
espacio
Teorema:
Sea v un vector no nulo,entonces para
cualquier vector u se tiene que
u.v
v es un vector ortogonal a v
w= u v
2
v
u
w=u-proyvu
Proyvu
v
Algebra lineal
Vectores en el
espacio
Prueba del Teorema:
u
.
v
w.v= u
v .v u.v
2
v
u
.
v
2
u
.
v
v 0
w.v=
2
v
Por lo tanto wv
u
.
v
v.v
2
v
Algebra lineal
Vectores en el
espacio
Ejercicio
Nº2
a) Calcule laproyección de u=(2,3,1) sobre v=(2,-1,3).
b) Sean u=(1,0,0), v=(0,1,1) y
w=(3,0,0). Encuentre el ángulo
entre u y v, u y w, v y w.
c) Encuentre todos los vectores
ortogonales a (1,-1,2) y (0,1,-2)
Algebra lineal
Vectores en el
espacio
Producto
vectorial
El producto
vectorial o producto cruz fue
definido por Hamilton (1848) y solo está
definido para 3.
Es un producto de vectores en 3 cuyoresultado es un vector perpendicular a
ambos factores, de manera que se
mantenga el sistema derecho
Primero se define en los vectores
canónicos i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)
Algebra lineal
Vectores en el
espacio
Producto
vectorial
ixi=0
jxj=0
ixj=k
ixk=-j
jxi=-k
jxk=i
kxk=0
kxi=j
kxj=-i
(bz-cy)i- (az-cx)j +(ay-bx)k
u=
ai+bj+ck
v=
xi+yj+zk
uxv
Algebra lineal
Vectores en el
espacio...
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