VECTORES FISICA

BLOQUE II
Geometría
5.
6.
7.
8.

Vectores en el espacio
Espacio afín
Espacio métrico
La esfera

5

Vectores
en el espacio

1. Operaciones con vectores
■ Piensa y calcula

Z

Calcula mentalmente la longitud de la diagonal del ortoedro aplicando el teorema de
Pitágoras en el espacio.

3

D

Solución:
L = √ 62 + 22 + 32 = √ 49 = 7 unidades

2

6

X

Y

●Aplica la teoría
8

1. Calcula el módulo de los siguientes vectores:
8

a) v (8, 4, 1)
8
c) v (4, –2, 0)

8

b) v (–2, 9, 6)
8
d) v (– 3, – 1, 4)

√ 82

8

√ (– 2)2

a) |v | =
b) |v | =

+

42
+

+

12

92

8

b) – v
8
8
d) u – v

a) 2u
8
8
c) u + v

Solución:
8

8

4. Dados los vectores u (3, –2, 5) y v (–1, 4, –6), calcula:

8

Solución:
8a) 2u = 2(3, –2, 5) = (6, –4, 10)
8
b) – v = (1, –4, 6)
8
8
c) u + v = (3, –2, 5) + (–1, 4, –6) = (2, 2, –1)
8
8
d) u – v = (3, –2, 5) – (–1, 4, –6) = (4, –6, 11)

=9

+ 62 = 11

8

c) |v | = √ 42 + (–2)2 + 02 = √ 20 = 2 √ 5
8

d) |v | = √ (– 3)2 + (–1)2 + 42 = √ 26
8

8

2. Se sabe que un vector del espacio es v = 4i – 12j + zk
Determina los valores posibles de lacoordenada z sa8
biendo que el |v | = 13

8

8

5. Dados los vectores u (1, –4, –3), v (2, 5, –1) y w(–6, 0, 5),
calcula:
8
8
8
a) u + v – w

8

8

8

b) 2u – v + w

Solución:
8
8
8
a) u + v – w = (1, –4, –3) + (2, 5, –1) – (–6, 0, 5) =
= (9, 1, – 9)

Solución:
8
|v | = 13

√ 42 + (– 12)2 + z2 = 13

8

8

8

b) 2u – v + w = 2(1, –4, –3) – (2, 5, –1) + (–6, 0, 5) == (–6, –13, 0)

z2 + 160 = 169
z = √ 9 = ±3

8

3. Calcula un vector unitario en la dirección del vector v
en los siguientes casos:
8
a) v (1, 2, 2)
Solución:
8
a) |v | = 3

(

1 2 2
u , ,
3 3 3

8

170

8

8

8

x (8, 5, 9), calcula el valor de a, b y c para que:
8
8
8
8
x = au + bv + cw

b) v (–3, 1, 2)
Solución:
(8, 5, 9) = a(1, 0, –2) + b(3, 4, –1) +c(1, –1, 3)

8

b) |v | = √ 14

)

8

6. Dados los vectores u (1, 0, –2), v (3, 4, –1), w(1, – 1, 3) y

(

–3 , 1 , 2
u
√ 14 √ 14 √ 14

8

)

a + 3b + c = 8 °
§
4b – c = 5 ¢ ò a = – 1, b = 2, c = 3
–2a – b + 3c = 9 §
£

SOLUCIONARIO

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

8

2. Problemas de vectores
■ Piensa y calcula
8

8

8

Expresa el vector u (1, 2, 3) comocombinación lineal de los vectores v (2, –1, 5) y w (–1, 3, –2)
Solución:
8
8
u=v +w
(1, 2, 3) = (2, –1, 5) + (– 1, 3, – 2)

8

● Aplica la teoría
7. Dados los puntos A(3, – 1, 2) y B(– 1, 2, 1), calcula los

10. Calcula el centro de gravedad del tetraedo cuyos vér-

vectores siguientes:

tices son los puntos siguientes:
A(1, 2, –1), B(3, 1, 3), C(2, –3, 5) y D(6, –4, 1)

8

a)AB
8

Solución:
G(3, – 1, 2)

b) BA
¿Qué relación hay entre los dos vectores?
Solución:

11. Las coordenadas de tres vértices consecutivos de un

8

paralelogramo son:
A(4, 7, –3), B(5, 1, –2) y C(3, 2, –4)
Calcula las coordenadas del vértice D

a) AB (– 4, 3, –1)
8

b) BA (4, –3, 1)
Los vectores son opuestos.

8. Calcula el punto medio del segmento definido por los
puntossiguientes:
A(6, – 5, 3) y B(4, – 3, 7)
Solución:
M(5, – 4, 5)

Solución:
8
8
8
El vector OD = OA + BC
8
BC (–2, 1, –2)
8
OD = (4, 7, – 3) + (– 2, 1, – 2) = (2, 8, – 5)
8

12. Estudia si el vector a (–6, 15, 9) se puede expresar co8

8

mo combinación lineal de u (3, –1, 2), v (4, 3, – 1) y
8
w(– 2, 5, 1)

9. Calcula el baricentro del triángulo cuyos vértices sonSolución:
8
8
8
a = xu + yv + zw
(–6, 15, 9) = x(3, –1, 2) + y(4, 3, –1) + z(–2, 5, 1)

8

los puntos siguientes:
A(2, 1, – 4), B(– 5, 1, 3) y C(6, 7, – 5)

3x + 4y – 2z = –6 °
§
–x + 3y + 5z = 15 ¢ ò x = 2, y = – 1, z = 4
2x – y + z = 9 §
£

Solución:
G(1, 3, – 2)

3. Producto escalar
■ Piensa y calcula

u

8

© Grupo Editorial Bruño, S.L.

El módulo del vector u mide 4...