Vectores a base canonica

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Vectores a base Canónica.
Base
Si los vectores V1, V2….. Vk en un espacio vectorial V forma una base, si (a) V1, V2…,Vk generan a V y (b) V1, V2…, Vk son linealmenteindependientes.
Si los vectores V1, V2…,Vk forman una base para un espacio vectorial V, ellos son distintos y no nulos; por eso los escribiremos como un conjunto V1,V2,…Vk
Ejemplo:
Los vectorese1= (1 , 0) y e2=(0, 1) forman una base para R2 , los vectores e1, e2 y e3 forman una base para R3 y en general, los vectores e1, e2…en forman una base para Rn cada uno de estosconjuntos de vectores se llama basa natural, base estándar o base canónica para R2 R3 RN respectivamente.
Ejemplo 2:
Muetre que el conunto S= V1, V2,V3, V4, donde V1=(1, 0, 1, 0), V2=(0, 1,-1, 2), V3=(0, 2, 2, 1) y V4=(1, 0, 0, 1), es una base para R4.
Solucion:
Para mostrar que S es linealmente independiente, formamos la ecuación
C1V1+C2V2+C3V3+C4V4=0
Y resolvemospara C1,C2,C3 y C4. Al sustituir los valores de V1, V2,V3, V4 obtenemos el sistema lineal (verifique).
C1+C4=0
C2+2C3=0
C1-C2+2C3=0
2C2+C3+C4=0,
que tiene como unica solucionC1=C2=C3=C4=0 (verifique), lo cual muestra que S es linealmente independiente. Observe que el coeficiente de la matriz del sistema lineal precedente consiste en los vectores V1, V2,V3, V4escritos en forma de columna.
Para mostrar que S genera R4, sea v=(a,b,c,d) un vector cualquiera de R4. Debemos encontrar constantes K1, K2, K3, K4 tales que
K1V1+K2V2+K3V3+K4V4=vCuando se sutituye V1, V2,V3, V4 y v, es siempre posible hallar una solucion (verifiquelo) K1, K2, K3, K4 del sistema lineal resultante, para cualesquiera a, b, c, d; por lo tanto, Sgenera a R4. Se concluye asi que S es una base para R4.

Cruz Medina Alan Gustavo.

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Algebra lineal.

Vectores base canónica.

Fecha de entrega: 24 de Octubre del 2008
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