Vectores

Capítulo I

Álgebra de Vectores
1 Vectores en el plano
Cantidades en geometría y física, como el área, el volumen, la temperatura, la masa y el tiempo, se caracterizan mediante un solo número (en unidades de medición apropiadas). Estas cantidades se llaman escalares. Otras cantidades, como la fuerza, la velocidad y la aceleración, tienen magnitud y dirección y no pueden caracterizarsecompletamente por medio de un solo escalar. Para representar estas cantidades se usa un segmento de recta ! dirigido. El segmento de recta dirigido P Q tiene como punto inicial P y ! como punto …nal Q y su longitud (o magnitud) se denota por P Q . El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos que son equivalentes a un segmento de recta dirigido dado es un vector en el plano R2 y se denota por ! v= P Q.

DEFINICIÓN DE UN VECTOR EN EL PLANO MEDIANTE SUS COMPONENTES Si v es un vector en el plano cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto …nal es (v1 ; v2 ), entonces el vector v queda de…nido mediante sus componentes de la siguiente manera v = hv1 ; v2 i. Las coordenadas v1 y v2 son las componentes de v. Si el punto inicial y el punto …nal están en el origen, entonces v es el vector cero(o vector nulo) y se denota por 0 = h0; 0i. Los procedimientos siguientes pueden usarse para convertir un vector dado mediante un segmento de recta dirigido en un vector dado mediante sus componentes o viceversa. 1. Si P (p1 ; p2 ) y Q (q1 ; q2 ) son los puntos inicial y …nal de un segmento ! de recta dirigido, el vector v representado por P Q, dado mediante sus componentes, es hv1 ; v2 i = hq1p1 ; q2 p2 i. A partir de la fórmula de la distancia vemos que la longitud (o magnitud) de v es q 2 2 kvk = (q1 p1 ) + (q2 p2 ) p 2 2 = v1 + v2 . 1

Figura 1: vector

2. Si v = hv1 ; v2 i, v puede representarse por el segmento de recta dirigido, en la posición canónica o estándar, que va de P (0; 0) a Q (v1 ; v2 ). A la longitud de v también se le llama la norma de v. Si kvk = 1, v es un !vector unitario. Y kvk = 0 si y sólo si v es el vector cero 0 . DEFINICIÓN DE LA SUMA DE VECTORES Y DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR Sean u = hu1 ; u2 i y v = hv1 ; v2 i dos vectores y sea c un escalar. 1. La suma vectorial de u y v es el vector u + v = hu1 + v1 ; u2 + v2 i. 2. El múltiplo escalar de c y u es el vector cu = hcu1 ; cu2 i. 3. El negativo de v es el vector 4. La diferencia de u y ves u v = ( 1) v = h v1 ; v2 i. v = u + ( v) = hu1 v1 ; u2 v2 i.

El vector u + v, llamado vector resultante, es la diagonal de un paralelogramo que tiene u y v como lados adyacentes.

Ejemplo 1 Dados v = h 2; 5i y w = h3; 4i encontrar cada uno de los vectores
1 a) 2 v

b) w

v

c) v + 2w

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON VECTORES Sean u, v y w vectores en el plano, y sean c y descalares. 1. u + v = v + u 2 Propiedad conmutativa.

Figura 2: suma de vectores

2. (u + v) + w = u + (v + w) 3. u + 0 = u 4. u + ( u) = 0 5. c(d u) = (cd )u 6. (c + d )u = cu + d u 7. c(u + v) = cu + cv 8. 1(u) = u; 0(u) = 0

Propiedad asociativa. Propiedad de la identidad aditiva. Propiedad del inverso aditivo.

Propiedad distributiva. Propiedad distributiva.

LONGITUD DE UN MÚLTIPLOESCALAR Sea v un vector y sea c un escalar. Entonces kcvk = jcj kvk, donde jcj es el valor absoluto de c. VECTOR UNITARIO EN LA DIRECCIÓN DE v Si v es un vector distinto de cero en el plano, entonces el vector u=
v kvk

=

1 kvk v

tiene longitud 1 y la misma dirección que v.

DESIGUALDAD DEL TRIÁNGULO Considerando a u y v como dos de los lados de un triángulo, se puede ver que la longituddel tercer lado es ku + vk y se cumple: ku + vk kuk + kvk. 3

2

Coordenadas y vectores en el espacio

COORDENADAS En el espacio tridimensional los vectores se denotan mediante ternas ordenadas v = hv1 ; v2 ; v3 i. El vector cero se denota por 0 = h0; 0; 0i. Usando los vectores unitarios i = h1; 0; 0i, j = h0; 1; 0i y k = h0; 0; 1i en la dirección del eje positivo z, la notación empleando...