Vectores

1.- DEFINICIÓN DE VECTORES
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:
Origen
O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.
Módulo
Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector,debemos medir desde su origen hasta su extremo.
Dirección
Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.
Sentido
Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

2.- DIFERENCIA ENTRE MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIAL
Magnitud Escalar:
Son aquellas en las que las medidasquedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras: Masa, Temperatura, Presión, Densidad

Magnitudes vectoriales:
Las magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación
como la velocidad y la fuerza.
3.-OPERACIONES MATEMÁTICAS VECTORIALES
a. Suma y resta de vectores.

La suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente.
Procedimiento Gráfico
Para sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del queobtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente dibujo:



Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primervector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera:

Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman, pero vectores con sentidos opuestos se restan. A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores.


Método Algebraico para la Suma de vectores

Dados tres vectores



La expresión correspondiente al vector suma es:

o bien

siendo,por tanto,



Propiedades de la suma de vectores:
Conmutativa
a + b = b + a
Asociativa
(a + b) + c = a + (b + c)
Elemento neutro o vector 0
a + 0 = 0 + a = a
Elemento simétrico u opuesto a'
a + a' = a' + a = 0
a' = -a


b.- Producto escalar de dos vectores
El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como r · v, se obtiene de la suma de los productos formados porlas componentes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores r y v, expresados en un mismo sistema de coordenadas:
r = rxi + ryj + rzk
v = vxi + vyj + vzk
teniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores :
i · i = j · j = k · k = 1
i · j = i · k = j · k = 0
el resultado de multiplicar escalarmente r por v es:
r · v = rx· vx + ry · vy+ rz · vz
Esta operación no solo nospermite el cálculo de la longitud de los segmentos orientados que representan ( sus módulos ), sino también calcular el ángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar también se puede hallar en función de sus módulos y del coseno del ángulo que forman mediante la fórmula:
r · v = |r| · |v| · cos (r, v)
Propiedades
Conmutativa : r · v = v · r
Distributiva : r · ( v + u ) =r · v + r · u
Asociativa : ( k · r ) · v = k · ( r · v ) = r · ( k · v ) siendo k escalar.
Además:
1.- r · r = 0 si, y sólo sí r = 0.
2.- Si r y v 0 y r · v = 0, esto implica que los vectores son perpendiculares, (cos 90º = 0).
3.- El producto escalar de dos vectores es equivalente a multiplicar escalarmente uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él.
Ejemplo:
Proyección...