Vectores

- Campos vectoriales

Un campo vectorial es una construcción del cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo.

Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la física para, por ejemplo, modelar la velocidad y la dirección de un líquido móvil a través del espacio, o la intensidad y la dirección de una cierta fuerza, tal como la fuerza magnética o lagravitatoria, pues cambian punto a punto.

En el tratamiento matemático riguroso, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad.

Rn → Rn que(((Un campo vectorial es en Rn es una aplicación F:A asigna a cada punto x de su dominio A un vector F (x). Si n = 2, F se llama campo vectorial en el plano, y si n = 3, F es un campo vectoriales delespacio.

Visualizar F adhiriendo una flecha a cada punto (Fig. 4.3.1). En Rn → R que asigna un número a cada punto es un(((contraste, una aplicación f:A campo escalar. Un campo vectorial F (x,y,z) en R3 tiene tres campos escalares componentes F1, F2 y F3, así que F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)).

De manera análoga, un campo vectorial Rn tiene n componentes F1, …, Fn. Sicada componente es una función Ck, decimos que el campo vectorial F es de clase Ck. Se dará por hecho que los campos vectoriales son, al menos, de clase C1, a no ser que se diga lo contrario.
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La siguiente definición presenta uno de los campos vectoriales más importantes de la física.
- Campos escalares

Representa a una magnitud física que requiere de sólo un número para suidentificación. Se trata de un concepto que data del siglo XIX. Su aplicación está orientada a la descripción de fenómenos relacionados con la distribución de temperaturas dentro de un cuerpo, con las presiones en el interior de fluidos, con el potencial electroestático o con la energía potencial en un sistema gravitacional. Las funciones de estos fenómenos no se pueden modelar en un gráfico, porrequerirse cuatro dimensiones, y por eso mismo dan pie para estudiar el «espacio curvo» en el cual cohabitamos. Son también las herramientas optimizantes para aquellos casos donde intervienen distintas variables.

Matemáticamente, un campo escalar es una función , cuyo valor depende del punto del espacio en que se considere, y se expresa de la siguiente manera:
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En que es un vector decoordenadas (cartesianas) (x, y, z), que representa la posición del observador en el espacio.

Un ejemplo recurrente e intuitivo, son las curvas de los mapas bidimensionales de los topógrafos que representan topográficamente a una región. El campo escalar que corresponde es el campo de altura H ( x, y ), de una región de la superficie de la tierra, en función de la posición de puntos sobre un planoproyectivo.

Evidentemente, se trata de un campo escalar en el espacio bidimensional, en que la altura de un punto está dada por z = H ( x, y ).
- Operaciones con vectores

Las operaciones que se pueden realizar con los vectores en el plano.

SUMA Y RESTA DE VECTORES

Dados dos vectores libres del plano, definiremos suma de estos vectores al vector resultante de unir el origen del primer vectorcon el extremo del segundo vector, haciendo coincidir previamente el extremo del primer vector con el origen del segundo vector. Gráficamente se puede ver el desarrollo de esta operación: escogeremos un representante del segundo vector libre cuyo origen sea el extremo del representante del primer vector libre. Justo después, se unirá el origen del primer vector con el extremo del segundo vector.Geométricamente, podemos dibujar un paralelogramo con estos dos vectores, y la suma nos dará la diagonal de dicho paralelogramo.

Para hallar el producto de un vector por un escalar (control a para u; control b para v), bastará con multiplicar el punto extremo del vector, y después sumar las coordenadas de los puntos origen y extremo.

Gráficamente, consiste en prolongar el vector u...