Vectores

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Producto Escalar

En matemática, el producto escalar, también conocido como producto interno, interior o punto, es una operación definida sobre dos vectores de un espacio euclídeo cuyo resultado es un número o escalar. Esta operación permite explotar los conceptos de la geometría euclidiana tradicional: longitudes, ángulos, ortogonalidad en dos y tres dimensiones. El producto escalar puededefinirse también en los espacios euclídeos de dimensión mayor a tres, y en general en los espacios vectoriales reales y complejos. Los espacios vectoriales dotados de producto escalar reciben el nombre de espacios prehilbertianos.

El producto interior o producto escalar de dos vectores en un espacio vectorial es una forma sesquilineal, hermítica y definida positiva, por lo que se puede consideraruna forma cuadrática definida positiva.
Un producto escalar se puede expresar como una aplicación donde V es un espacio vectorial y es el cuerpo sobre el que está definido V. debe satisfacer las siguientes condiciones:
1. Linealidad por la izquierda: , y linealidad conjugada por la derecha:
2. Hermiticidad: ,
3. Definida positiva: , y si y sólo si x = 0,
donde son vectores deV, representan escalares del cuerpo y es el conjugado del complejo c.
Si el cuerpo tiene parte imaginaria nula (v.g., ), la propiedad de ser sesquilineal se convierte en ser bilineal y el ser hermítica se convierte en ser simétrica.
También suele representarse por o por .
Un espacio vectorial sobre el cuerpo o dotado de un producto escalar se denomina espacio prehilbert o espacioprehilbertiano. Si además es completo, se dice que es un espacio de hilbert, y si la dimensión es finita, se dirá que es un espacio euclídeo.
Todo producto escalar induce una norma sobre el espacio en el que está definido, de la siguiente manera:
.

Propiedades del producto escalar
1. Conmutativa:

2. Distributiva respecto a la suma vectorial:

3. Asociativa respecto al producto por unescalar m:

Producto Vectorial
El producto vectorial es una operación binaria entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también producto cruz (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o producto externo (pues está relacionado con el producto exterior).
Sean dos vectores yen el espacio vectorial . El producto vectorial entre y da como resultado un nuevo vector . Para definir este nuevo vector es necesario especificar su módulo y dirección:
 El módulo de está dado por

donde θ es el ángulo determinado por los vectores a y b.
 La dirección del vector c, que es ortogonal a a y ortogonal a b, está dada por la regla de la mano derecha.
El productovectorial entre a y b se denota mediante a × b, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante a ∧ b.
El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

donde es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección estádada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b.

Propiedades

Cualesquiera que sean los vectores , y :
1. , (anticonmutatividad)
2. Si con y , ; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la condición de paralelismo entre dos direcciones.
3. .
4. , conocida como regla de la expulsión.
5. , conocida como identidad de Jacobi.
6. ,en la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores a y b, siendo θ ,el ángulo menor entre los vectores y ; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del paralelogramo que definen ambos vectores.
7. El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores y .

Vectores ortogonales
Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando...
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